組合遊戲 SG函式和SG定理

2021-08-19 18:32:36 字數 1984 閱讀 4420

在介紹sg函式和sg定理之前我們先介紹介紹必勝點與必敗點吧.

必勝點和必敗點的概念

:p點:必敗點,換而言之,就是誰處於此位置,則在雙方操作正確的情況下必敗。

n點:必勝點,處於此情況下,雙方操作均正確的情況下必勝。

必勝點和必敗點的性質

:1、所有終結點是 必敗點 p 。(我們以此為基本前提進行推理,換句話說,我們以此為假設)

2、從任何必勝點n 操作,至少有一種方式可以進入必敗點 p。

3、無論如何操作,必敗點p 都只能進入 必勝點 n。

我們研究必勝點和必敗點的目的時間為題進行簡化,有助於我們的分析。通常我們分析必勝點和必敗點都是以終結點進行逆序分析。我們以

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為例:當 n = 0 時,顯然為必敗點,因為此時你已經無法進行操作了

當 n = 1 時,因為你一次就可以拿完所有牌,故此時為必勝點

當 n = 2 時,也是一次就可以拿完,故此時為必勝點

當 n = 3 時,要麼就是剩一張要麼剩兩張,無論怎麼取對方都將面對必勝點,故這一點為必敗點。

以此類推,最後你就可以得到;

n    :   0    1    2    3    4   5    6 ...

position:  p    n   n    p   n   n   p ...

你發現了什麼沒有,對,他們就是成有規律,使用了 p/n來分析,有沒有覺得問題變簡單了。

現在給你乙個稍微複雜一點點的: 

hdu 2147 kiki's game

現在我們就來介紹今天的主角吧。組合遊戲的和通常是很複雜的,但是有一種新工具,可以使組合問題變得簡單————sg函式和sg定理。

sprague-grundy定理(sg定理):

遊戲和的sg函式等於各個遊戲sg函式的nim和。這樣就可以將每乙個子遊戲分而治之,從而簡化了問題。而bouton定理就是sprague-grundy定理在nim遊戲中的直接應用,因為單堆的nim遊戲 sg函式滿足 sg(x) = x。不知道nim遊戲的請移步:這裡

sg函式:

首先定義mex(minimal excludant)運算,這是施加於乙個集合的運算,表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex=3、mex=0、mex{}=0。

對於任意狀態 x , 定義 sg(x) = mex(s),其中 s 是 x 後繼狀態的sg函式值的集合。如 x 有三個後繼狀態分別為 sg(a),sg(b),sg(c),那麼sg(x) = mex。 這樣 集合s 的終態必然是空集,所以sg函式的終態為 sg(x) = 0,當且僅當 x 為必敗點p時。

【例項】取石子問題

有1堆n個的石子,每次只能取個石子,先取完石子者勝利,那麼各個數的sg值為多少?

sg[0]=0,f=,

x=1 時,可以取走1 - f個石子,剩餘個,所以 sg[1] = mex= mex = 1;

x=2 時,可以取走2 - f個石子,剩餘個,所以 sg[2] = mex= mex = 0;

x=3 時,可以取走3 - f個石子,剩餘個,所以 sg[3] = mex = mex =1;

x=4 時,可以取走4-  f個石子,剩餘個,所以 sg[4] = mex = mex = 2;

x=5 時,可以取走5 - f個石子,剩餘個,所以sg[5] = mex =mex = 3;

以此類推.....

x        0  1  2  3  4  5  6  7  8....

sg[x]    0  1  0  1  2  3  2  0  1....

由上述例項我們就可以得到sg函式值求解步驟,那麼計算1~n的sg函式值步驟如下:

1、使用 陣列f 將 可改變當前狀態 的方式記錄下來。

2、然後我們使用 另乙個陣列 將當前狀態x 的後繼狀態標記。

3、最後模擬mex運算,也就是我們在標記值中 搜尋 未被標記值 的最小值,將其賦值給sg(x)。

4、我們不斷的重複 2 - 3 的步驟,就完成了 計算1~n 的函式值。

組合遊戲 SG函式和SG定理

在介紹sg函式和sg定理之前我們先介紹介紹必勝點與必敗點吧.必勝點和必敗點的概念 p點 必敗點,換而言之,就是誰處於此位置,則在雙方操作正確的情況下必敗。n點 必勝點,處於此情況下,雙方操作均正確的情況下必勝。必勝點和必敗點的性質 1 所有終結點是 必敗點 p 我們以此為基本前提進行推理,換句話說,...

組合遊戲 SG函式和SG定理

在介紹sg函式和sg定理之前我們先介紹介紹必勝點與必敗點吧.必勝點和必敗點的概念 p點 必敗點,換而言之,就是誰處於此位置,則在雙方操作正確的情況下必敗。n點 必勝點,處於此情況下,雙方操作均正確的情況下必勝。必勝點和必敗點的性質 1 所有終結點是 必敗點 p 我們以此為基本前提進行推理,換句話說,...

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