今天考了一道博弈論的題，讓我重新複習一下sg定理吧。
首先通常的nim遊戲的定義是這樣的：有若干堆石子，每堆石子的數量都是有限的，合法的移動是「選擇一堆石子並拿走若干顆（不能不拿）」，如果輪到某個人時所有的石子堆都已經被拿空了，則判負（因為他此刻沒有任何合法的移動）。
我們知道對於最普通最一般的nim取石子來說，所有石子個數異或起來如果為0，那麼先手必敗，如果不為0那麼先手必勝。
具體證明如下：
1、最後的遊戲狀態必然是所有石子個數為0，也可以看成所有石子異或為0。
2、假如現在所有石子異或起來為j，我們用ai表示第i堆石子個數，總共n堆。那麼就有a1^a2^a3……^an=j，我們把j二進位制表示，則a中必有乙個數最高位與j的最高位同為1（位數一樣），不然j的那個1是哪來的？然後我們令這個數是am，所以am^j必然小於am，顯然最高位被消掉變小了。我們可以取石子把am變成am^j，那麼對於原式就是a1^a2^……^an^j=j^j=0；
3、如果異或起來為0，那麼如果任意拿掉石子，新的異或一定不為0，這個證明十分簡單，留給讀者解決。（偷懶~）
所以當異或不為0的時候，都可以通過操作讓它變成0，所以顯然就有了上面那個結論。
那麼現在我們上重頭。
對於乙個大的遊戲，我們把它看成是多個小的遊戲，比如這個取石子，我們把它看成是n個小的遊戲。
現在我們單獨考慮乙個遊戲，也就是一堆石子如何解決。
我們規定乙個對於集合的操作mex，表示最小的不屬於該集合的非負整數。
舉幾個栗子：mex=3，mex=0，mex=2；
我們再定義sg函式：sg(x)=mex。
什麼叫y是x的後繼？我們用普通的nim遊戲舉個栗子。假如有一堆石子個數為x，普通的nim遊戲可以取任意個，但不能乙個不取，所以x的後繼就是0~x-1，所以y取值0~x-1。
有乙個結論就是普通的取石子sg（x）=x。
我們考慮sg函式的性質，我們把遊戲看成乙個圖，那麼其實就是乙個點在這張圖上面跑，當這個點走到0的時候它就走不動了。sg值為0時，表示當前點為必敗點，因為它下面的sg值都大於0。sg值大於0，當前點是必勝點，因為它可以走到乙個點的sg值為0。
所以得到結論sg值為0就是必敗，sg大於0就是必勝。
我們已經考慮完了單個遊戲，那麼我們考慮把遊戲合起來考慮。
合起來的遊戲其實相當於n個點同時在這張圖上面跑。
這裡還有乙個sg函式的性質，如果sg（x）=y，那麼它可以走到的後繼的sg值有0-y-1，參考它的定義。這裡是不是有點熟悉？這不就相當於最普通的nim取石子嗎？可以取任意個，但不能乙個不取。我們把sg值看成石子個數，那麼整個遊戲的sg值就是子遊戲的sg值異或的和。
至此我們可以得到對於這類題，普遍的解法了。先打出sg函式找規律然後異或就完了。
給出乙個找sg函式的模板：（其實就是模擬sg函式的定義）
int f[n],sg[n],s[n];
void getsg(int n)
} }
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