C語言演算法之揹包演算法

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揹包問題中，需對容量為

c 的揹包進行裝載。從

n 個物品中選取裝入揹包的物品，每件物品

i 的重量為

wi ，價值為

pi .

對於可行的揹包裝載，揹包中物品的總重量不能超過揹包的容量，最佳裝載是指所裝入的物品價值最高，即n ？

i=1pi xi 

取得最大值。約束條件為n ？

i =1wi xi≤c 和xi

？[ 0 

，1 ] 

在這個表示式中，需求出

xt 的值。

xi = 1

表示物品

i 裝入揹包中，

xi =0 

表示物品

i 不裝入揹包。

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揹包問題是乙個一般化的貨箱裝載問題，即每個貨箱所獲得的價值不同。貨箱裝載問題轉化為揹包問題的形式為：船作為揹包，貨箱作為可裝入揹包的物品。

例1-8 

在雜貨店比賽中你獲得了第一名，獎品是一車免費雜貨。店中有

n 種不同的貨物。規則規定從每種貨物中最多只能拿一件，車子的容量為

c，物品

i 需占用

wi 的空間，價值為

pi .

你的目標是使車中裝載的物品價值最大。當然，所裝貨物不能超過車的容量，且同一種物品不得拿走多件。這個問題可仿照

揹包問題有好幾種貪婪策略，每個貪婪策略都採用多步過程來完成揹包的裝入。在每一步過程中利用貪婪準則選擇乙個物品裝入揹包。一種貪婪準則為：從剩餘的物品中，選出可以裝入揹包的價值最大的物品，利用這種規則，價值最大的物品首先被裝入（假設有足夠容量），然後是下乙個價值最大的物品，如此繼續下去。這種策略不能保證得到最優解。例如，考慮

n=2，

w=[100，10

，10]

，p =[20，15

，15]

，c = 1 0 5.

當利用價值貪婪準則時，獲得的解為

x= [ 1 ，0 

，0 ]

，這種方案的總價值為

2 0.

而最優解為

[ 0 ，1 

，1 ]

，其總價值為

另一種方案是重量貪婪準則是：從剩下的物品中選擇可裝入揹包的重量最小的物品。雖然這種規則對於前面的例子能產生最優解，但在一般情況下則不一定能得到最優解。考慮

n= 2 

，w=[10

，20]

，p=[5

，100]

，c= 2 5.

當利用重量貪婪策略時，獲得的解為

x =[1，0]

，比最優解

[ 0 

還可以利用另一方案，價值密度

pi /wi 

貪婪演算法，這種選擇準則為：從剩餘物品中選擇可裝入包的

pi /wi 

值最大的物品，這種策略也不能保證得到最優解。利用此策略試解

n= 3 

，w=[20，15

，15]

，p=[40，25

，25]

我們不必因所考察的幾個貪婪演算法都不能保證得到最優解而沮喪，

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揹包問題是乙個

n p-

複雜問題。對於這類問題，也許根本就不可能找到具有多項式時間的演算法。雖然按

pi /wi 

非遞（增）減的次序裝入物品不能保證得到最優解，但它是乙個直覺上近似的解。我們希望它是乙個好的啟發式演算法，且大多數時候能很好地接近最後演算法。在

6 0 0

個隨機產生的揹包問題中，用這種啟發式貪婪演算法來解有

2 3 9

題為最優解。有

5 8 3

個例子與最優解相差

1 0 %

，所有6 0 0

個答案與最優解之差全在

2 5 %

以內。該演算法能在o （

nl o gn

）時間內獲得如此好的效能。我們也許會問，是否存在乙個x （

x<1 0 0 

），使得貪婪啟發法的結果與最優值相差在

x%以內。答案是否定的。為說明這一點，考慮例子

n =2

，w = [ 1 ，y]

，p= [ 1 0 

，9y]，和

c= y.

貪婪演算法結果為

x=[1，0]

，這種方案的值為

1 0.

對於y≥1 0 / 9

，最優解的值為

9 y.

因此，貪婪演算法的值與最優解的差對最優解的比例為（

（9y - 1 0

）/9y* 1 0 0 ）%

，對於大的

y，這個值趨近於

1 0 0 %.

但是可以建立貪婪啟發式方法來提供解，使解的結果與最優解的值之差在最優值的

x% （

x<100

）之內。首先將最多

k 件物品放入揹包，如果這

k 件物品重量大於

c，則放棄它。否則，剩餘的容量用來考慮將剩餘物品按

pi /wi 

遞減的順序裝入。通過考慮由啟發法產生的解法中最多為

例13-9 

考慮n =4

，w=[2，4

，6，7]

，p=[6，10

，12，13]

，c = 11.

當k= 0

時，揹包按物品價值密度非遞減順序裝入，首先將物品

1放入揹包，然後是物品

2，揹包剩下的容量為

5個單元，剩下的物品沒有乙個合適的，因此解為

x = [ 1 ，1 

，0 ，0 ].

此解獲得的價值為

現在考慮

k = 1

時的貪婪啟發法。最初的子集為 ，

， ，.子集 ，

產生與k= 0

時相同的結果，考慮子集

，置x3 為1.

此時還剩

5個單位的容量，按價值密度非遞增順序來考慮如何利用這

5個單位的容量。首先考慮物品

1，它適合，因此取

x1 為

1，這時僅剩下

3個單位容量了，且剩餘物品沒有能夠加入揹包中的物品。通過子集

開始求解得結果為

x = [ 1 ，0 

，1 ，0 ]

，獲得的價值為

1 8.

若從子集

開始，產生的解為

x = [ 1 ，0 

，0 ，1 ]

，獲得的價值為

1 9.

考慮子集大小為0和

1時獲得的最優解為

[ 1 ，0 

，0 ，1 ].

這個解是通過

若k= 2

，除了考慮

k< 2

的子集，還必需考慮子集 ，

， ，，和.

首先從最後乙個子集開始，它是不可行的，故將其拋棄，剩下的子集經求解分別得到如下結果：

[ 1 ，1 

，0 ，0 ] 

，[ 1 ，0 

，1 ，0 ] 

，[ 1 ，0 

，0 ，1 ] 

，[ 0 ，1 

，1 ，0 ]

和[ 0 ，1 

，0 ，1 ]

，這些結果中最後乙個價值為

2 3，它的值比

k= 0

和k= 1

時獲得的解要高，這個答案即為啟發式方法產生的結果。

這種修改後的貪婪啟發方法稱為

k階優化方法（

k - o p t i m a l

）。也就是，若從答案中取出

k 件物品，並放入另外

k 件，獲得的結果不會比原來的好，而且用這種方式獲得的值在最優值的（

1 0 0 / 

（k + 1 ））

%以內。當

k= 1

時，保證最終結果在最佳值的

5 0 %

以內；當

k= 2

時，則在

3 3 . 3 3 %

以內等等，這種啟發式方法的執行時間隨

（nk 

），每乙個子集所需時間為o （

n），因此當

k >0

時總的時間開銷為o （