學習什麼是」線性相關性「，「線性無關」，什麼是由向量組所「生成」的空間，什麼是向量空間的「基」，什麼是子空間的「維數」。
一、知識背景
ax=b，am×n，其中m
二、向量組線性相關性
什麼條件下，x1,x2...xn是線性無關的？
抽象定義：如果不存在結果為零向量的組合，向量組線性無關，去掉係數全部為零的情況。
假設二維空間中，任意三個不共線的向量必是線性相關的，因為由上面的背景知識可知，這三個向量組成的矩陣a是m對於矩陣中個列的線性相關性，如果零空間n(a)裡存在非零向量，那麼各列相關。
假設在乙個m維空間裡面，矩陣a的列有v1，v2....vn，如果他們是無關的，那麼矩陣a的零空間中只有零向量，那麼秩rank(a)=n，無自由變數；如果這些列向量相關，則表示零空間中存在非零向量，rank(a)（注意說線性無關相關都是針對向量組而非矩陣，我們只是把它放在矩陣裡並與零空間聯絡在一起來研究線性相關性）
三、向量組「生成」乙個空間
以前見過的：矩陣中列向量的所有線性組合將生成乙個「列空間」。。。。
設向量組：v1...vl，生成了乙個空間的意思是這個空間包含這些向量的所有線性組合。我們可以簡單的說，比如，矩陣的所有列生成列空間。對於乙個向量組，他們能夠生成乙個空間。令s是向量組生成的空間，這表示s包含向量組所有的線性組合，s是包含這些向量的空間中最小的乙個。
四、基
從三的概念中可以帶出基的概念，它包含向量的個數不多不少，
向量空間的一組基是指：一系列的向量，v1,v2...vd，這些向量具有兩大性質：1）他們是線性無關的，可逆；2）他們生成整個空間；
比如三維空間中，單位陣是最明顯的乙個基，除此之外，還有很多其他的基，比如向量[1,1,2],[2,2,5]是生成二維平面的一組基，再加上乙個向量[3,4,8]就是三維空間的一組基。
這些基有乙個共同的特點，即對於給定n維空間，那麼基向量的個數就是n個（即不管是3維空間，列空間，還是零空間，空間中任意基都滿足：基向量的個數相等）。
五、維數
維數，即基向量的個數，空間的大小(維數)。
比如上面這個列向量，他們能生成列空間，但這些列向量不是基，但我們可以得到第一列和第二列是列空間的一組基，2是基的維數。
即上面：
矩陣的秩rank(a)=2為列空間的維數（注意不是矩陣a的維數，是a的列空間的維數，同樣，不能說子空間的秩，矩陣才有秩）。
考慮零空間n(a)，求解ax=0，[-1,-1,1,0]就是乙個解，令乙個特殊解為[-1,0,0,1]。零空間是的維數是多少？
選擇自由變數賦予特殊值，得到的向量組合就是0空間，零空間中的向量告訴我們，這樣組合列向量會得到零空間，怎樣這些列才會線性相關。
零空間的維數是自由變數的數目。
已知矩陣am×n，秩為r，那麼自由變數為n-r，即dim(n(a))=n-r
MIT線性代數 9 線性相關性 基 維數
線性相關的定義 給定一組向量 x1,x2,x3.xn 除了他們係數等於0相加後值為0之外，如果還存在一組數使得他們相加等於0，那麼稱這組向量線性相關，否則線性無關。也就是零空間n a 中存在非0向量則為線性無關 如果一組向量中包含0向量那麼這組向量是線性相關的，因為我門可以取任意倍的0向量，其餘向量...
線性相關性 基 維數
mit 1，線性相關性 1 m n矩陣a中，如果a的解空間中只有零向量，則n個向量線性無關 如果a的解空間中一定含有其他非零解，則n個向量線性相關 2 m n矩陣a中，如果r n，則n個向量線性無關 如果rn，則n個向量線性相關 2，生成空間 一組向量生成向量空間的含義是這個空間包含這些向量的所有線...
線性相關性 基 維數
首先在定義這幾個名詞之前，我們要知道這幾個詞 線性相關 linear independence 基 basis 維數 dimension 是爭對什麼量的，比如我們只會說一組向量 a bunch of vectors 線性無關或線性相關，不會說矩陣線性無關，矩陣我們只說秩，行列式等，我們會說某組向量可...