n 個有次序的數 a
1，a2，…，a
n 所組成的陣列稱為n 維向量，這 n 個 數稱為該向量的 n 個分量，第i個數 a
稱為第i個分量
向量組的概念
若干個同維數的列向量（或同維數的行向量）所組成的集合叫做向量組
幾個定義
線性組合的係數
給定向量組 a：a1，a2，…，am，對於任何一組實數 k1，k2，…，km，表示式
k 1a
1+k2
a2+…
+kma
mk_1a_1 + k_2a_2 + … + k_m a_m
k1a1
+k2
a2+
…+km
am
稱為向量組 a 的乙個線性組合，k1，k2，…，k3 稱為這個線性組合的係數.
向量 b 能由向量組 a 線性表示
給定向量組 a：a1，a2，…，a3 和向量 b，如果存在一組數λ1，λ2，…，λm，使
b =λ
1a1+
λ2a2
+…+λ
ma
mb=λ_1a_1 +λ_2a_2 + … +λ_ma_m
b=λ1a
1+λ
2a2
+…+
λma
m則向量 b 是向量組 a 的線性組合，這時稱向量 b 能由向量組 a 線性表示
向量組到向量組之間的線性表示
設有兩個向量組 a：a1，a2，…，am 及 b：b1，b2，…，bm，若 b 組中的每個向量都能由向量組a線性表示，則稱向量組b能由向量組a線性表示.若向量組 a 與向量組 b 能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價
(可聯想矩陣和矩陣的乘法，將相關的概念對應到乘法：c=ab 中的每乙個矩陣，則c代表這裡的b，a表示這裡的a，b表示係數矩陣)
定理：
向量 b 能由向量組 a：a1，a2，…，am 線性表示的充分必要條件是矩
陣 a =（a1，a2，…，am）的秩等於矩陣 b =（a1 ，a2，…，am，b）的秩
向量的表示運用到線性方程組中
向量組的線性組合、線性表示及等價等概念，也可移用於線性方程組：對方程組 a 的各個方程作線性運算所得到的乙個方程就稱為方程組 a 的乙個線性組合；若方程組 b 的每個方程都是方程組 a 的線性組合，就稱方程組 b 能由方程組 a 線性表示，這時方程組 a 的解一定是方程組 b 的解；若方程組 a 與方程組 b能相互線性表示，就稱這兩個方程組可互推，可互推的線性方程組一定同解
定理：
向量組 b：b1，b2，…，bl 能由向量組 a：a1，a2，…，a m 線性表示的充分必要條件是矩陣 a =（a1，a2，…，am）的秩等於矩陣（a，b）=（a1，…，am，b1，…，bl ）的秩，即 r (a) = r（a，b）
定義
給定向量組 a：a1，a2，…，am 如果存在不全為零的數 k1，k，…，km，使
k 1a
1+k2
a2+…
+kma
m=
0k_1 a _1 + k _2 a _2 + … + k_m a _m = 0
k1a1
+k2
a2+
…+km
am
=0則稱向量組 a 是線性相關的，否則稱它線性無關
說向量組 a1，a2.，…，am 線性相關，通常是指 m ≥ 2 的情形，但定義 4 也適用於 m = 1 的情形.當 m = 1 時，向量組只含乙個向 量，對於只含乙個向量 a 的向量組，當 a = 0時是線性相關的，當 a≠0時是線性無關的. 對於含兩個向量 a1，a2 的向量組，它線性相關的充分必要條件是 a1，a2 的分量對應成比例，其幾何意義是兩向量共線.三個向量線性相關的幾何意義是三向量共面
定理
向量組 a：a1，a2，…，am 線性相關的充分必要條件是它所構成的矩陣 a =（a1，a2，…，a m）的秩小於向量個數 m；向量組 a 線性無關的充分必要條件是 r（a）= m
向量組和線性相關
向量和向量組 以下討論同樣適用於行矩陣 列矩陣素被看作空間內的乙個向量，n階列矩陣被稱為n維向量 m個n維列矩陣按順序組成的新矩陣被稱為向量組 線性表示和線性相關 當向量方程ax b有解時，稱向量b可以用向量組a線性表示，稱 xiai為向量組a的乙個線性組合 當向量組b的所有向量bi都能用a線性表示...
MIT線性代數第九講 線性相關 線性無關
解的存在性 ax b,a.shap e m n m n a.s hape m,n m n,未知數的個數大於方程的個數，由此推斷 ax 0存在非0解，ax 0的解存在的原因是矩陣消元後存在自由列。生成空間 向量v 1,v2 v n v1,v2,v n生成的空間是指v1 v2.vn v 1,v2.v n...
線性代數系列（五） 線性相關性
向量組的線性相關性 首先要明確一點，線性相關性是只針對向量組而言的。在前面的文章中，已經大致的涉及到了線性相關性的概念，其實，本質上還是考慮的線性組合。給定乙個向量組v vv，如果除了零向量以外，不存在一組非零的係數向量使得向量組v vv的線性組合為零向量，那麼這個向量組v vv中的向量就是線性無關...