mit 公開課：gilbert strang《線性代數》課程筆記（彙總）
lecture 2: elimination with matrices
課程 2：矩陣消元
對於線性方程組 ⎧⎩
⎨x+2
y+z3
x+8y
+z4y
+z=2
=12=2
, 我們首先通過消元來簡化方程組，再通過回代求得方程組的解。
考慮方程組係數矩陣
a 及其右端向量 ba
=⎛⎝⎜
1302
8411
1⎞⎠⎟
,b=⎛
⎝⎜212
2⎞⎠⎟
, 我們稱 (a
,b)=
⎛⎝⎜1
3028
4111
2122⎞
⎠⎟為增廣矩陣(augmented matrix).
下面對增廣矩陣 (a
,b) 進行消元： ⎛⎝
⎜130
2841
11212
2⎞⎠⎟
−→−−
−−−−
−−−−
−−第一
行乘以−
3加到第
二行⎛⎝
⎜100
2241
−212
62⎞⎠
⎟−→−
−−−−
−−−−
−−−第
二行乘以
−2加到
第三行⎛
⎝⎜⎜1
0022
01−2
526−
10⎞⎠⎟
⎟.其中，方框中的 1,
2,5 稱為主元(pivot)，注意，主元不能為 0.
下面通過回代求得線性方程組的解。
首先由增廣矩陣的第三行可知，z=
−2，將 z=
−2代入第二行可得 y=
1 ，再將 z=
−2,y
=1代入第一行可得 x=
2. 因此方程組的解為 x=
2,y=
1,z=
−2.我們將
a 通過消元後得到的上三角矩陣(upper triangular) 記為
u，即 u=
⎛⎝⎜1
0022
01−2
5⎞⎠⎟
. 下面從矩陣乘法的角度來說明
a 是如何變成 u的。
首先將
a 的第一行的 −3
倍加到第二行得到了 a1
=⎛⎝⎜
1002
241−
21⎞⎠
⎟.回憶一下矩陣乘法，乙個矩陣左乘矩陣
a 相當於對
a的行作線性組合，因此我們要找到乙個合適的矩陣
x 使得 xa
=a1，由
a 和 a1
的前兩行相同可知，矩陣
x 的第一行和第三行分別為 (1
,0,0
),(0
,0,1
).又由將
a 的第一行的 −3
倍加到第二行得到 a1
可知，
x 的第二行為 (−
3,1,
0).因此 x=
⎛⎝⎜1
−300
1000
1⎞⎠⎟
. 我們將這個矩陣即為 e21
，因為它把
a 的 (2
,1)位置的元素消成了
0. 這個矩陣稱為初等矩陣或消元矩陣(elementary matrix or elimination matrix).
同理可知，第二次變換的矩陣為 ⎛⎝
⎜100
01−2
001⎞
⎠⎟.
我們將這個矩陣記為 e32
，它同樣是初等矩陣。
因此我們即得 e32
e21a=
u.這就是矩陣消元的乘法表示。
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