方程組未知數個數決定維度大小，未知數的係數組成矩陣。例：a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
…
1.方程組行影象： 每條方程組所形成的直線或麵相交的那個結果就是所求的。
a1 b1 c1 x d1
[ a2 b2 c2 ] * [ y ] = [ d2 ]
a3 b3 c3 z d3
即： ax = b x為向量 b為a中列向量必然有解
2.方程組行影象： 同乙個引數的係數按順序組成x,y,z...的向量，相加得到結果向量。
a1 b1 c1 d1
[ a2 ] x + [ b2 ] y + [ c2 ] z = [ d2 ]
a3 b3 c3 d3
消元法：由原矩陣（a）變換成上腳矩陣（u），即左斜角為主元，下方均為零（方程組可換行）
a2/a1 = λ1 a1 b1 c1 d1
b3/b2 = λ2 u = [ 0 b2-λ1b1 c1-λ1c1 ] = [ d2-λ1d1 ]
消元後回代得: a1x + b1y + c1z = d1 1 0 0 1 0 0
(b2-λ1b1)y + (c1-λ1c1)z = d2-λ1d1 e2,1矩陣為完成u的係數 即[ -λ1 1 0 ] e3,2=[0 1 0]
(c3-λ2c2)z = d3-λ2d2 0 0 1 0 -λ2 1
若所乘矩陣為列矩陣，可用 2.方程組行影象 形式計算
若所乘矩陣為行矩陣([x y z]) x乘第一列和，y乘第二列和，z乘第三列和
一：行乘列
a1,1 a1,2 a1,3 a1... b1,1 b1,2 b1,3 b1... c1,1 c1,2 c1,3 c1...
[a2.1 a2.2 .2.3 a2...] * [b2,1 b2,2 b2,3 b2...] = [c2,1 c2,2 c2,3 c2...] cm,p=am,1*b1,p+am,2*b2,p+...+am,n*bn,p
a3.1 a3.2 a3.3 a3... b3,1 b3,2 b3,3 b3... c3,1 c3,2 c3,3 c3...
... a矩陣(m,n) ... b矩陣(n,p) ... c矩陣(m,p)
二：c列1為b列1矩陣乘a矩陣，c列2為b列矩陣2乘a矩陣... c的列為a的線性組合
三：c行1為a行1矩陣乘b矩陣，c行2為a行2矩陣乘b矩陣... c的行為b的線性組合
四：列乘行：第一列矩陣乘第一行矩陣，第二列矩陣乘第二行矩陣...
a^-1 * a = i = a * a^-1 ax = 0 x不為0向量 a^-1為a的逆矩陣, i為單位矩陣
列或行為倍數關係，即為同向直線不存在逆矩陣
推導（消元法）： 現推二維方陣，後期推完全的 a3=λa1 a2*x=a4-λa2
a1 a2 丨 1 0 a1 a2 丨 1 0 xa1 0 丨 x+λ λa2-a4 1 0 丨 x+λ/xa1 λa2-a4/xa1
[ a3 a4 丨 0 1 ] = [ 0 a4-λa2 丨 -λ 1 ] = [ 0 a4-λa2丨 -λ 1 ] = [ 0 1 丨-λ/a4-λa2 1/a4-λa2 ]
即 e[a i]=[i ?] ∵ e*a=i a^-1 * a = i ∴ e=a^-1 ?=e*i=a^-1
a = l*u e*a=u l為下腳矩陣，左斜角均為1 上方均為0 e=e2,1*e3,1*e3,2*... l和e互為逆矩陣
p為行重新排列的單位矩陣 pa=lu p.t=p^-1 p.t*p=i p.t(i,j)=p(j,i)
對稱矩陣：p.t=p r.t*r必定是對稱矩陣
向量空間用r^n表示，n代表n行矩陣，為n維空間 r^2的子空間為1.r^2本身 2.過原點向量 3.原點
子空間： 進行加法乘法的線性組合結果仍在此空間
列空間： 一列構成乙個向量
零空間：b為0時，x的向量空間
ax=b其他解法，先對a進行消元得到u，u斜邊上的主元個數（若斜邊有一列均為0則後退乙個）稱為秩，有秩的列也稱為主元列，無秩的為自由量列，故自由量列的x可代乙個為1其他為0，最後回代求得x
-fr為簡化階梯行形式，即主元皆為1，上下皆為0，得到r=[i f] x=c[ i ] i為單位矩陣，f為自由矩陣
線性代數筆記
ps 課程連線 link 將矩陣看作是向量的函式 轉換函式 1.子空間 假設v是乙個向量空間，如果s是v的子集，且s對加法和數量乘法封閉，則稱s是v的乙個子空間。對於向量空間，一定注意 v的任何子空間都一定包含o 零空間 2.維度 乙個空間的基中，向量的個數 注意 不能簡單的通過基中元素個數來確定維...
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記一下怕忘。齊次線性方程 x1 x2 xn 0 非齊次線性方程 x1 x2 xn n 增廣矩陣 又稱擴增矩陣 就是在係數矩陣的右邊添上一列，這一列是線性方程組的等號右邊的值。矩陣的秩 方陣 行數 列數相等的矩陣 的列秩和行秩總是相等的，因此它們可以簡單地稱作矩陣a的秩。通常表示為r a rk a 或...
MIT 線性代數筆記 02
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