矩陣的秩rank(a)：矩陣主元的個數。
找出「主變數」pivotvariables，主列，即主元所在的列，其他列，稱為自由列。（自由列表示可以自由或任意分配數值，列2和列4的數值是任意的，因此x2和x4是任意的，可以自由取）。
演算法整理：
消元後矩陣u的秩rank(a)=r，表示主變數的個數，主元的個數，表示只有r個方程起作用，那麼自由變數的個數即n-r個（對於矩陣m×n，n列對應n個未知數），令自由變數取1,0值就能得到特解，所有的特解構成了零空間的基，特解的線性組合即構成了整個零空間。
簡化行階梯形式
r=簡化行階梯形式reducedrowechelonform（rref）：主元上下都是0，主元變為1
它以最簡的形式包含了所有資訊：1）主行（行一，行二）；
2）主列（列一，列三），自由列，主元；
3）乙個單位陣，主元上下均為0，而且主元為1，單位陣位於主列和主行的交匯處。以上是乙個2×2的單位陣；
4）乙個全為0的行，全為0的行總表示，該行的原行是其他行的線性組合；5）從ax=0變為ux=0再變為rx=0的解，解更明了
將以上矩陣r中的主元列和自由列分別放在一起形成單位矩陣i和自由列矩陣f，對於特解結果，自由列中數字的相反數即特解中的主元值，如下圖左邊的解和右邊的i與f
若 ax=b 有解，則 b3-b1-b2=0
ax=b可解性solvability：有解時右側向量b須滿足的條件
1）有解，僅當b屬於a的列空間時成立，即，b必須是a的各列的線性組合
2）行的線性組合如果得到零行，那麼b中元素的同樣組合必然也是零。這兩種描述是等價的！他們同樣是描述方程組有解的條件。
把所有這些解在四維空間中都畫出來，想象一下，xp是乙個非原點的點，xn是乙個穿過原點的平面，那麼xp+xn是兩者的組合，是乙個不經過原點的經過xp的二維平面，注意它不是子空間。
基
向量空間的一組基是指：一系列的向量，v1,v2...vd，這些向量具有兩大性質：1）他們是線性無關的，可逆；2）他們生成整個空間
這些基有乙個共同的特點，即對於給定n維空間，那麼基向量的個數就是n個（即不管是3維空間，列空間，還是零空間，空間中任意基都滿足：基向量的個數相等）。
維數
維數，即基向量的個數，空間的大小(維數)
比如上面這個列向量，他們能生成列空間，但這些列向量不是基，但我們可以得到第一列和第二列是列空間的一組基，2是基的維數。
即上面：矩陣的秩rank(a)=2為列空間的維數（注意不是矩陣a的維數，是a的列空間的維數，同樣，不能說子空間的秩，矩陣才有秩）。
零空間的維數是自由變數的數目。已知矩陣am×n，秩為r，那麼自由變數為n-r，即dim(n(a))=n-r
維數問題
列空間：
a的主列就是列空間的一組基，dim(c(a))=rank(a)=r，維數就是秩的大小行空間：有乙個重要的性質：行空間和列空間維數相同，都等於秩的大小
零空間：
一組基就是一組特殊解，r是主變數的個數，n-r是自由變數的個數，零空間的維數等於n-r左零空間：維數為m-r。
n維空間中存在兩個子空間，乙個r維的行空間，乙個n-r維的零空間，維數和為n。和另乙個結論相似：r個主變數，n-r個是自由變數，加起來是n。
m維空間中存在兩個子空間，乙個r維的列空間，乙個m-r維的左零空間，維數和為m。
左零空間的基
基的問題
新向量空間
所有3*3矩陣構成的集合是乙個向量空間，符合對於現行運算的封閉，稱之為m
m的子空間包括：
3×3的所有矩陣，它的維數是9，一組基是：
秩1矩陣
回到重點，矩陣的關鍵數字——矩陣的秩，秩為1的矩陣
所有秩1的矩陣都可表示為一列乘以一行的形式：a=uvt，u是列向量，v也是列向量
秩1矩陣可以就像搭建其他矩陣的積木一樣，如果有5×17的矩陣，秩為4，可以把這5×17的矩陣分解為4個秩1矩陣的組合。
兩個矩陣之和的秩小於等於兩個矩陣的秩之和
MIT 線性代數筆記 02
mit 公開課 gilbert strang 線性代數 課程筆記 彙總 lecture 2 elimination with matrices 課程 2 矩陣消元 對於線性方程組 x 2 y z3 x 8y z4y z 2 12 2 我們首先通過消元來簡化方程組，再通過回代求得方程組的解。考慮方程組...
MIT 線性代數筆記 09
mit 公開課 gilbert strang 線性代數 課程筆記 彙總 lecture 9 independence,basis,and dimension 課程 9 線性無關性 基 維數 線性無關 向量生成的空間 基 那麼稱 v1 v2,vd 是 v的一組基。線性空間 v的任何一組基中所含向量的個...
線性代數筆記
ps 課程連線 link 將矩陣看作是向量的函式 轉換函式 1.子空間 假設v是乙個向量空間，如果s是v的子集，且s對加法和數量乘法封閉，則稱s是v的乙個子空間。對於向量空間，一定注意 v的任何子空間都一定包含o 零空間 2.維度 乙個空間的基中，向量的個數 注意 不能簡單的通過基中元素個數來確定維...