線性相關的定義：給定一組向量（x1,x2,x3...xn），除了他們係數等於0相加後值為0之外，如果還存在一組數使得他們相加等於0，那麼稱這組向量線性相關，否則線性無關。（也就是零空間n(a)中存在非0向量則為線性無關）
如果一組向量中包含0向量那麼這組向量是線性相關的，因為我門可以取任意倍的0向量，其餘向量係數取0，那麼就可以得到0向量了。
乙個二維空間中有三個不共線的向量，問這三個向量線性相關嗎？答案是必然線性相關，因為二維空間兩個不共線的向量就可以表示整個二維空間了，剩下那個向量肯定是前兩個的線性組合，那麼這三個向量必然線性相關。
如果乙個m*n的矩陣所有列向量線性無關，那麼這個矩陣的秩等於n，因為自由列都是由主列組合而得到的。
設v1,v2,v3..vn向量生成乙個空間，那麼這個空間就是包含這些向量的所有線性組合。
如果向量生成空間s，則s 是包含這些向量組合的最小空間。
如果乙個矩陣的列向量既要能生成指定的空間，又要線性無關，那麼向量的數量要適當。
基的定義：一組向量v1,v2,v3...vn，他們要滿足兩個條件：
他們是線性無關的，可逆。
他們能生成整個空間。
例子：
三維空間最易找到的基是單位陣。但並不是唯一一組。
結論：如果乙個矩陣是n維的，那麼一組基的向量個數就是n（無論是列空間還是零空間，基向量的個數總是為n）。
由此引出維數，乙個空間的維數就是基向量的個數。
例子：
列空間：如圖列出了矩陣a的列空間和零空間，那麼可以快速發現矩陣a中最多只有兩列線性無關，比如第一列和第二列，那麼該矩陣的秩為2，也就是列空間的維數，我們可以定義矩陣的秩等於列空間的維數（注意不是矩陣的維數），並且頭兩列也是矩陣的基，但並是不唯一的，比如第一列和第三列也可以組成一組基，再比如我們自己從a中的列空間組合乙個基：
該基是由列空間線性組合得到的，但是他們倆線性無關，所以也是一組基。
零空間：
如圖，該矩陣的零空間是2維的，我們是通過給自由變數賦值得到的零空間，所以零空間的維數是自由變數的數目。
結論：m*n的矩陣，列空間的維數是r，零空間的維數是n-r。
線性代數導論9 線性相關性 基 維數
學習什麼是 線性相關性 線性無關 什麼是由向量組所 生成 的空間，什麼是向量空間的 基 什麼是子空間的 維數 一 知識背景 ax b，am n，其中m 二 向量組線性相關性 什麼條件下，x1,x2.xn是線性無關的？抽象定義 如果不存在結果為零向量的組合，向量組線性無關，去掉係數全部為零的情況。假設...
線性相關性 基 維數
mit 1，線性相關性 1 m n矩陣a中，如果a的解空間中只有零向量，則n個向量線性無關 如果a的解空間中一定含有其他非零解，則n個向量線性相關 2 m n矩陣a中，如果r n，則n個向量線性無關 如果rn，則n個向量線性相關 2，生成空間 一組向量生成向量空間的含義是這個空間包含這些向量的所有線...
線性相關性 基 維數
首先在定義這幾個名詞之前，我們要知道這幾個詞 線性相關 linear independence 基 basis 維數 dimension 是爭對什麼量的，比如我們只會說一組向量 a bunch of vectors 線性無關或線性相關，不會說矩陣線性無關，矩陣我們只說秩，行列式等，我們會說某組向量可...