母函式與排列組合

在談論母函式問題之前，我們先看乙個簡單的問題描述：假如有兩組資料（a,b）和（c,d），每組中選出乙個構成乙個組合，總共有幾種選法？很顯然總共有4種選法：ac,ad,bc,bd。而且很容易聯想到這個式子（a+b）*（c+d）=a*c+a*d+b*c+b*d。式子中的幾個乘積項就是上面的4種選法。假如把問題換一下：每組中選出乙個或0個資料構成組合，總共有幾種組合？那麼結果就變成：,a,b,c,d,ac,ad,bc,bd，而式子（1+a+b）*（1+c+d）=1+c+d+a+a*c+a*d+b+b*c+b*d，正好和上面組合的結果又一致（1代表什麼都沒選）。從這2個例子我們可以發現多項式乘積和組合存在著某種關係。事實上我們可以這麼理解：（1+a+b）可以理解為從第一組資料中取0個資料，取a或者取b，同樣（1+c+d）可以理解為從第二組資料取0個資料，取c或者取d。兩者相乘的結果就表示了所有的組合。再看一下這個多項式：

（1+x）*（1+x+x2）*（1+x3）=1+2x+2x2+2x3+2x4+2x5+x6

這個多項式和上面的有一些區別了，它的冪級數超過1了。如果要從（1+x）、（1+x+x2）和（1+x3）中得到x的2次方的話，有兩種選擇：從（1+x）和（1+x+x2）中分別選擇乙個x或者從（1+x+x2）中選擇x2；如果要得到x的6次方的話，只有1種選擇，就是從（1+x）中選擇x、（1+x+x2）中選擇x2、（1+x3）中選擇x3。也就是說乘積結果的每一項anxn的前面的係數an表示了從（1+x）、（1+x+x2）和（1+x3）中得到xn的組合數。

其實上面的例子就利用了母函式的思想，下面來具體討論一下母函式。

一.什麼是母函式

下面這個對於母函式的描述摘自維基百科：

在數學中，某個序列的母函式是一種形式冪級數，其每一項的係數可以提供關於這個序列的資訊。

也就是說母函式是針對某個序列的，它的外在表現形式是一種形式冪級數。比如說有這樣乙個序列a0，a1，......an，構造乙個函式

f(x)=a0+a1x+a2x2+......+anxn

則f(x)是序列a0，a1，......an的母函式。比如說最常見的(1+x)n，它是序列c(n,0)，c(n,1)，c(n,2)...c(n,n)的母函式。

母函式包括幾種，其中最常見的是普通型母函式和指數型母函式。普通型母函式是形如　f(x)=a0+a1x+a2x2+......+anxn的函式，而指數型母函式是形如g(x) = a0 + a1*(x)/1! + a2*(x2)/ 2! + a3*(x3)/3! + …… an*(xn)/k!的函式。

二.利用普通型母函式解決組合問題

利用母函式的思想可以解決很多組合問題，下面舉例說明：

1.口袋中有白球2個，紅球3個，黃球1個，從袋中摸出3個球有幾種取法？

和上面描述的例子類似，我們可以用次數代表球的個數，多項式的每一項前面的係數代表取法的種樹。

可以很容易地寫出下面這個式子：

（1+x+x2）（1+x+x2+x3）（1+x）

（1+x+x2）表示有白球2個，1表示白球不取，x代表取1個白球，x2代表取2個白球，即用x的次數表示取球的個數，後面的也是類似。那麼這個多項式的乘積就把所有的情況都表示出來了，對於最終乘積的每一項anxn，表示取n個球有an種取法。

2.有若干個1克，2克，5克的砝碼，要稱出20克的重量，有多少種稱法？

這裡不限制砝碼的個數，無所謂，照樣寫出母函式：

（1+x+x2+x3+......xk+....）（1+x2+x4+x6......+x2n+......）（1+x5+x10+......x5m+......）

因為要稱出20克，所以只需要找找到結果中次數為20 的那一項就可以得到結果。

3.同樣對於正數劃分也可以解決，比如有整數20，劃分成1，2，5，有多少種劃分方法？

解法和2的類似。

還有一類題目和這類似，有n個球放到m個盒子中，有多少種不同的放法？

（1+x+x2+x3+...xk+...）（1+x+x2+x3+...xk+...）（1+x+x2+x3+...xk+...）總共有m項，然後找出乘積中次數為n的那一項係數。

三.利用指數型母函式解決排列問題

1.口袋中有白球2個，紅球3個，黃球1個，任取3個作為乙個排列，總共有多少種排列？

類似地用指數型母函式解決

用（1+x/1!+x2/2!）表示取白球0個，1個或者2個

那麼（1+x/1!+x2/2!）（1+x/1!+x2/2!+x3/3!）（1+x/1!）來表示所有的排列結果。

=1+3x+4x2+19x3/6+19x4/12+6x5/12+x6/12

=1+3*(x/1!)+8*(x2/2!)+19*(x3/3!)+38*(x4/4!)+60*(x5/5!)+60*(x6/6!)

找到次數為3的那一項，係數為19，那麼總共有19種排列。

2.用1，2，3，4能夠組成多少個5位數，要求1出現2次或者3次，2出現0次或者1次，3沒有限制，4只出現偶數次。

（x2/2!+x3/3!）（1+x）（1+x/1!+x2/2!+x3/3!+.....xk/k!+....）（1+x2/2!+x4/4!+......+x2n/(2n)!+......）

每個式子的含義就不多解釋了，讀者應該能看懂它的含義。最終的結果就是x5/5!這一項的係數。

用**去實現母函式的計算過程很簡單，它是模擬我們人工計算多項式乘積的過程，比如有多項式h1*h2*h3......

我們先計算h1和h2的乘積，得到結果h'，再用h'和h3相乘......依次類推下去，直到得到最終的結果。

下面這道題目是航電上的一道題：

題目意思是有1分，2分，5分的硬幣各a，b，c枚，求算不能組成的總錢數的最小值。

#include using namespace std;
int main(int argc, char *argv)
; //次數增長步長 
while(scanf("%d %d %d",&num[0],&num[1],&num[2]) != eof)
//母函式為(1+x+x^2+...x^num[0])(1+x^2+x^4+....x^2*num[1])(1+x^5+x^10+...+x^5*num[2]) 
for(i=0;i<=cent[0]*num[0];i+=cent[0]) //第乙個多項式的係數初始化 
for(i=1;i<3;i++) //i表示總共有多少個多項式 
}for(j=0;j<=max;j++) //將臨時陣列清零 
}for(i=0;i<=max;i++)
printf("%d\n",i);
}return 0;
}

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