0.做題的時候很害怕遇到這類問題，尤其是和斯托克斯定理高斯散度定理格林定理混在一起的時候。估計是，在學校學的時候，這塊應該也是沒有理解的，只是把各種定理的形式記住，然後做題的時候生搬硬套。這些天似乎是明白了一點，所以寫下來，完全是自己的理解，有不對的地方請指正。
多元積分分類，簡單到複雜：
累次積分
二重積分，三重積分
曲線積分（第一型，第二型），曲面積分（第一型，第二型）
1. 曲線的切線 ， 曲面的法線
用引數方程表示
用曲面方程表示
曲線方程
x=x(t)
y=y(t)
z=z(t)
p(x,y,z)=0
q(x,y,z)=0
曲面方程
x=x(u,v)
y=y(u,v)
z=z(u,v)
f(x,y,z)=0
相應的切線和法線表示
用引數方程表示
用曲面方程表示
曲線的切線
( x', y', z' )
(p' x,p' y,p' z)x(q' x,q' y,q' z)
曲面的法線
(x' u,y' u,z' u)x(x' v,y' v,z' v)
(f' x,f' y,f' z)
2. 曲線積分和曲面積分的微元
帶方向微元
用引數方程表示
用曲面方程表示
曲線積分微元dl
( x', y', z' )dt
-曲面積分微元ds
(x' u,y' u,z' u)x(x' v,y' v,z' v)dudv-
注：a.微元方向必然與切線或法線方向一致，上兩個**的黃色部分一致
b.由於微元可以在引數方程的情況下表示出來，所以可以用來計算；否則只能通過第二類積分轉換為關於座標的微分（dx,dy,dz,dydz,dzdx,dxdy），才能進行計算。
3. 第一類積分和第二類積分的轉換
a.曲線積分
方向補充說明：
如果 t 增加的方向和曲線方向 （l 的方向）是相反，那麼從第三步開始增加負號，到最後的一步變為有負號的結果。這時按 t 增加的方向定義起點和終點，和按照 l 的方向定義的起點終點是相反的，如果把最後一步的積分起點終點顛倒，則可以吸收負號，結果恰為按照l的方向的積分。
推導過程中dt 的上下限，為從小到大，即從小到大積分(不這樣應該也可以)
b.曲面積分
和上面的推導類似
方向補充說明：
關於方向性：
a.座標積分的方向性
第一類曲線或曲面積分是沒有方向的，也就是說只要被積函式是正的，那麼積分值也是正的。
但是當第一類積分代入引數方程，並且曲線微元或者面積微元換為引數微元（即上面的dl變為dt）後，積分變得有方向性。即使被積函式是正的，當積分的上下限不同時，可能會造成積分值為負的情況。
對於曲線積分，要求引數是從小積到打
對於曲面積分，兩個引數都從小到大？
b.第二類積分的方向
對曲線積分，從推導過程可以看出，
4. 關於叉乘，矩陣的行列式，面積，座標轉換
a.叉乘可以用矩陣的行列式以方便計算
b.座標轉換的矩陣的行列式，對應微元的面積或者體積比
c.由於叉乘之於三維空間的特殊性，所以以上結論可能被限制在三維空間中
5. 斯托克斯公式，格林公式，保守場
對於函式 f=p(x,y,z)i+q(x,y,z)j+r(x,y,z)，如果可以找到另乙個函式f(x,y,z)，使得f(x,y,z)的梯度等於f，則說f的保守的。（單連通區域）
這時，
保守場的性質可以看做斯托克斯公式的特殊情形。
格林公式也可以以看成斯托克斯公式在r=0，p=p(x,y)，q=q(x,y) 時的情況。
wiki說微積分基本定理和高斯定理是廣義的斯托克斯定理的推廣，大概涉及到微分幾何的內容，這個地方我沒有想清楚。
關於幾個定理，wiki上的這個表總結的比較全：
定理表示
註解梯度定理
（線積分基本定理）
c為一平滑曲線。
格林定理
在封閉曲線c上所做的線積分，
等於在區域d所的積分。
高斯散度定理
（散度基本定理）
斯托克斯定理
（旋度基本定理）
6.電磁學的高斯定理和高斯散度公式
一直感覺有關係，但是好像關係不大，或者不是想象中的那樣。q/ε這個東東是用曲面積分就算出來的。電場的強度在產生該場的電荷處是沒有定義的，所以散度公式是不能直接用的。但是把電場強度代入散度公式，被積函式變為0，也就是說在不包括點電荷的區域中，電場的通量為0。
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