微積分學習筆記五 多元函式微積分

2021-09-08 14:25:49 字數 2664 閱讀 4984

1、二元函式偏導數定義:設函式z=f(x,y)在點$(x_,y_)$的某鄰域有定義,固定y=$y_$,是x從$x_$變到$x_+\delta x$時,函式的變化為$f(x_+\delta x,y_)-f(x_,y_)$。如果極限

\[\lim_\frac+\delta x,y_)-f(x_,y_)}\]

存在,則稱此極限為z=f(x,y)在$(x_,y_)$對x的偏導數,記做$\frac|_}^}}$

2、設函式z=f(x,y)在點$m_(x_,y_)$的某鄰域內存在二階偏導數$\frac$和$\frac$。如果$\frac$和$\frac$都在$m_(x_,y_)$點連續,那麼在點$m_$滿足

$\frac|_,y_)}=\frac|_,y_)}$

3、函式z=f(x,y)在點(x,y) 處的全增量$\delta z=f(x+\delta x,y+\delta y)-f(x,y)$可以表示為$\delta z=a\delta x+b\delta y+o(\rho )$。ab不依賴於$\delta x,\delta y$而僅僅與x,y有關,$\rho=\sqrt}+\delta y^}}$。

若z=f(x,y)在(x,y)可微,那麼偏導數存在,且z=f(x,y)在點(x,y)可微。且$a=f^}_(x,y),b=f^}_(x,y)$。

證明:由於可微,所以$\delta z=a\delta x+b\delta y+o(\rho )$。當$\delta y=0$時,$\rho=|x_|$,$\delta z=a\delta x+o(|x_|)$,同時除以$\delta x$,兩端求極限

\[f_^}(x,y)=\lim_\frac=\lim_(a+\frac)=a\]

同理$b=f^}_(x,y)$。

4、設函式z=f(x,y)在點$(x_,y_)$的某鄰域內存在偏導數$f_^}(x,y),f_^}(x,y)$,並且$f_^}(x,y),f_^}(x,y)$都在點$(x_,y_)$連續,那麼z=f(x,y)在點$(x_,y_)$可微。

證明:設

$\delta z=f(x_+\delta x,y_+\delta y)-f(x_,y_)$

$=[f(x_+\delta x,y_+\delta y)-f(x_,y_+\delta y)]+[f(x_,y_+\delta y)-f(x_,y_]$

將$f(x_+\delta x,y_+\delta y)-f(x_,y_+\delta y)$看做x的函式$f(x,y_+\delta y)$在$\delta x$處的增量。由於$f_^}(x,y)$在$(x_,y_)$鄰域內存在,所以$f(x,y_+\delta y)$在$\delta x$某鄰域內可導,根據微分中值定理,有

\[f(x_+\delta x,y_+\delta y)-f(x_,y_+\delta y)=f_^}(x_+\theta_\delta x,y_+\delta y)\delta x,(0<\theta_<1)\]

同理\[f(x_,y_+\delta y)-f(x_,y_)=f_^}(x_,y_+\theta_ \delta y)\delta y,(0<\theta_<1)\]

而$f_^}(x,y),f_^}(x,y)$都在點$(x_,y_)$連續所以

\[\lim_f_^}(x_+\theta_\delta x,y_+\delta y)=f_^}(x_,y_)\]

\[\lim_f_^}(x_,y_+\theta_\delta y)=f_^}(x_,y_)\]

所以存在無窮小$\alpha ,\beta $,當$\rho \rightarrow 0$時,有

\[f_^}(x_+\theta_\delta x,y_+\delta y)=f_^}(x_,y_)+\alpha\]

\[f_^}(x_,y_+\theta_\delta y)=f_^}(x_,y_)+\beta\]

所以$\delta z=f_^}(x_,y_)\delta x+f_^}(x_,y_)\delta y+\alpha\delta x+\beta\delta y$

由於$|\frac|$

$=|\frac}+\delta y^}}}|$

$\leq\frac}+\delta y^}}}+\frac}+\delta y^}}}$

$\leq|\alpha|+|\beta|\rightarrow 0$

所以$\lim_\frac=0$

即$\alpha\delta x+\beta\delta y=o(\rho)(\rho\rightarrow 0)$

所以$\delta z=f_^}(x_,y_)\delta x+f_^}(x_,y_)\delta y+o(\rho)$。即z=f(x,y)在$(x_,y_)$可微。

5、設函式f(x,y),$\varphi (x,y)$都具有連續偏導數,在$\varphi (x,y)=0$時求f(x,y)的極值。

(1)引入拉格朗日乘數$\lambda $,$f(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda \varphi (x,y)$

(2)求三元函式$f(x,y,\lambda)$的駐點,即方程組

\[f_^}=f_^}(x,y)+\lambda \varphi _^}(x,y)=0\]

\[f_^}=f_^}(x,y)+\lambda \varphi _^}(x,y)=0\]

\[f_^}=\varphi(x,y)=0\]

的所有解$(x_,y_,\lambda _)$

(3)判斷$(x_,y_,\lambda _)$是否為$f(x,y,\lambda)$的極值點。

微積分學習筆記五 多元函式微積分

1 二元函式偏導數定義 設函式z f x,y 在點 x y 的某鄰域有定義,固定y y 是x從 x 變到 x delta x 時,函式的變化為 f x delta x,y f x y 如果極限 lim frac delta x,y f x y 存在,則稱此極限為z f x,y 在 x y 對x的偏導...

微積分 學習筆記

1階導 frac 2階導 frac frac y n階導 frac y 基本導數 c 0 x n n x sin x cos x cos x sin x e x e x e c e 鏈式法則 a x e a x ln a 除法法則 也可以用鏈式法則 1 次方去理解 csc x frac 1 frac...

微積分學習筆記三 定積分

1 介值定理 設f x 是區間 a,b 上的連續函式,那麼對於任意的u,f a u f b 或者f b u f a 在 a,b 上存在c使得f c u。2 積分中值定理 如果函式f x 在 a,b 連續,那麼在 a,b 上至少存在一點 使得 int f left x right dx f left ...