各種數：伯努利數，斯特林數，二項式係數及其恒等式。（至少...知道是什麼）
各種反演：二項式反演,莫比烏斯反演，minmax容斥（至少會背公式）
各種卷積：卷積，狄利克雷卷積，子集卷積，集合並卷積，集合交卷積，集合對稱卷積（至少明白是什麼意思）
這幾天比較系統的學了一下微積分和導數（其實是高考課課餘沒事幹和不想在機房頹廢。。
一、導數
其實就是個變化率的問題。
我們設乙個函式$f(x)$的導數為$d[f(x)]$
那麼：$$d[f(x)]=\lim_\frac$$
導數是這樣用的。
$$f(x+\delta x)=f(x)+d[f(x)]\delta x$$
然後寫一些常用的求導公式。
1.$$f(x)=ax+b$$
$$\begind[f(x)]&=&\lim_\frac\\&=&\lim_\frac\\&=&\lim_\frac=a\end$$
2.$$f(x)=x^n$$
$$\begind[f(x)]&=&\lim_\frac\\&=&\lim_\frac\\&=&\lim_\frac^c_n^i x^i^-x^n}\\&=&\lim_\sum\limits_^c_n^i^x^i\\&=&nx^\end$$
關於三角函式，我們知道：
$$\lim_sin(x)=x$$
$$\lim_cos(x)=1$$
3.$$f(x)=\sin(ax+b)$$
$$\begind[f(x)]&=&\lim_\frac\\&=&\lim_\frac\\&=&\lim_\frac\\&=&\lim_\frac\\&=&acos(ax+b)\end$$
4.$$f(x)=\cos(ax+b)$$
$$\begind[f(x)]&=&\lim_\frac\\&=&\lim_\frac\\&=&\lim_\frac\\&=&\lim_-\frac\\&=&-asin(ax+b)\end$$
我們知道$e$的定義式是：
$$e=\lim_(1+\frac)^$$
5.$$f(x)=a^x$$
$$\begind[f(x)]&=&\lim_\frac-a^x}\\&=&\lim_\frac-1)}\\&=&\lim_\frac-1)}\log_a((a^-1)+1)}\\&=&\lim_\frac-1))}^-1}}}\\&=&\frac\\&=&a^x\ln a\end$$
6.$$f(x)=log_ax$$
$$\begind[f(x)]&=&\lim_\frac\\&=&\lim_\fraclog_a(\frac)}\\&=&\lim_\frac)^}}\\&=&\frac\\&=&\frac\end$$
7.導數運算法則：
$$d[cf(x)]=cd[f(x)]$$
$$d[f(x)+g(x)]=d[f(x)]+d[g(x)]$$
$$d[f(x)-g(x)]=d[f(x)]-d[g(x)]$$
加減不證明了。太顯然了。。
主要證明一下乘除和復合函式。
$$\begind[f(x)g(x)]&=&\frac\\&=&\frac\\&=&\frac^2}\\&=&\frac^2}\\&=&d[f(x)]g(x)+f(x)d[g(x)]\end$$
$$\begind[\frac]&=&\frac-\frac}\\&=&\frac-\frac}\\&=&\frac\\&=&\frac\\&=&\frac\end$$
設$d[f[g(x)]]$為函式$f$在$g(x)$處的導數，區別於$d[f(g(x))]$,$d[f(g(x))]$為函式$f(g(x))$的導數。
$$\begind[f(g(x))]&=&\frac\\&=&\frac\\&=&\frac\\&=&d[f[g(x)]]d[g(x)]\end$$
二、不定積分
就是導數的逆運算。
即對於給定的$f(x)$
如果$f(x)$滿足：
$$d[f(x)]=f(x)$$
求$f(x)$的過程。
常用的是冪函式，如果$f(x)=ax^k$
那麼：$$f(x)=\fracx^$$
其他的我也不會。
三、定積分
簡單來說定積分用來求乙個函式關於某條軸的面積大小。
比如說：
$$\int_a^b f(x)dx$$就是函式$f(x)$關於$x$軸的積分。
我們發現定積分的一些基本運算法則。
$$\int_a^b (f(x)+g(x))dx=\int_a^b f(x)dx+\int_a^b g(x)dx$$
$$\int_a^b cf(x)dx=c\int_a^b f(x)dx$$
$$\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx$$
$$\int_a^a f(x)dx=0$$
$$\int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx$$
微積分基本定理：
設$$d[f(x)]=f(x)$$
那麼：$$\int_a^b f(x)dx=f(b)-f(a)=f(x)\mid_a^b$$
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