1、介值定理：設f(x)是區間[a,b]上的連續函式，那麼對於任意的u， f(a)<=u<=f(b)或者f(b)<=u<=f(a)，在[a,b]上存在c使得f(c)=u。
2、積分中值定理：如果函式f(x)在[a,b]連續，那麼在[a,b]上至少存在一點ξ，使得
\[\int_^f\left(x \right )dx=f\left(\xi \right )\left(b-a \right ),\xi\in [a,b]\]
證明：由於f(x)在[a,b]上連續，那麼存在最大值最小值m，m。所以$m(b-a)\leq \int_^f\left(x \right )dx\leq m(b-a)$，即
\[m\leq \frac\int_^f\left(x \right )dx\leq m\]
由介值定理，在[a,b]上存在一點ξ使得$f(\xi)= \frac\int_^f\left(x \right )dx$，即
\[\int_^f\left(x \right )dx=f\left(\xi \right )\left(b-a \right ),\xi\in [a,b]\]
3、設f(t)在[a,b]上連續，那麼函式$p(x)=\int_^f(t)dt,x\in [a,b]$在[a,b]上可導，且
\[p^}(x)=\frac\int_^f(t)dt=f(x)\]
證明： 設有$\delta x$，滿足$x+\delta x\in[a,b]$，那麼p(x)的增量
$\delta p(x)=p(x+\delta x)-p(x)=\int_^f(t)dt-\int_^f(t)dt=\int_^f(t)dt$
由積分中值定理，在$[x,x+\delta x]$中間存在ξ，使得
\[\delta p(x)=\int_^f(t)dt=f(\xi)[(x+\delta x)-x]=f(\xi)\delta x\]
即$\frac=f(\xi)$，所以當$\delta x \rightarrow 0$時，$x+\delta x \rightarrow x$，$\xi \rightarrow x$，所以
\[\lim_\frac=\lim_f(\xi)=f(x)\]
即\[p^}(x)=\frac\int_^f(t)dt=f(x)\]
4、牛頓-萊布尼茨公式:設f(x)在區間[a,b]上連續，f(x)是f(x)的乙個原函式，那麼
\[\int_^f(x)dx=f(x)\mid _^=f(b)-f(a)\]
證明：由(3)可得,函式$p(x)=\int_^f(t)dt,x\in [a,b]$也是f(x)的乙個原函式，所以f(x)與p(x)最多差乙個常數，令f(x)=p(x)+c，那麼
$f(a)=p(a)+c=\int_^f(t)dt+c=c$
$f(b)=p(b)+c=\int_^f(t)dt+c=\int_^f(t)dt+f(a)$
所以$\int_^f(x)dx=f(b)-f(a)$
5、反常積分的計算方式：
$(1)\int_^f(x)dx=\lim_\int_^f(x)dx$
$(2)\int_^f(x)dx=\lim_\int_^f(x)dx$
$(3)\int_^f(x)dx=\lim_}\int_^f(x)dx$
$(4)\int_^f(x)dx=\lim_}\int_^f(x)dx$
6 、$\gamma$函式：$\gamma (r)=\int_^x^e^dx,(r>0)$
(1)$\gamma (r+1)=r\gamma(r)$
證明：$\gamma (r+1)=\int_^x^e^dx$
$=-x^e^|^_+\int_^rx^e^dx$
$=r\int_^x^e^dx=r\gamma (r)$
(2)$\gamma(\frac)=\sqrt(\pi),\gamma (1)=1$,$\gamma (n+1)=n$!
微積分 學習筆記
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