出處：
先說km演算法求二分圖的最佳匹配思想，再詳講km的實現。
【km演算法求二分圖的最佳匹配思想】
對於具有二部劃分( v1, v2 )的加權完全二分圖，其中 v1= ， v2= ，邊< xi, yj >具有權值 wi,j 。
該帶權二分圖中乙個總權值最大的完美匹配，稱之為最佳匹配。
記 l(x) 表示結點 x 的標記量，如果對於二部圖中的任何邊，都有 l(x)+ l(y)>= w
x,y，我們稱 l 為二部圖的可行頂標。
設 g(v,e) 為二部圖， g'(v,e') 為二部圖的子圖。如果對於 g' 中的任何邊滿足， l(x)+ l(y)== w
x,y，我們稱 g'(v,e') 為 g(v,e) 的等價子圖。
定理一：設 l 是二部圖 g 的可行頂標。若 l 等價子圖 g
l 有完美匹配 m，則 m 是 g 的最佳匹配。
證明：由於 gl
是 g 的等價子圖，m 是 gl
的完美匹配，所以，m 也是 g
的完美匹配。以由於對於匹配 m 的每條邊 e ，都有 e∈ e( gl
)，而且 m 中每條邊覆蓋每個頂點正好一次，所以
w( m )=
åw(e), e∈ m =
å l(x), x∈ v
另一方面，對於 g 的任何完美匹配 m' 有
w( m' )=
åw(e), e∈ m'
<=
å l(x), x∈ v
於是 w( m )>= w( m' )，即 m 是 g
的最優匹配。
另外計算 d 值的時候可以進行一些優化。
定義 slack(y)= min
這樣能在尋找增廣路徑的時候就順便將 slack 求出。
（以上為摘上網路）
【km演算法及其具體過程】
（1）可行點標：每個點有乙個標號，記lx[i]為x方點i的標號，ly[j]為y方點j的標號。如果對於圖中的任意邊(i, j, w)都有lx[i]+ly[j]>=w，則這一組點標是可行的。特別地，對於lx[i]+ly[j]=w的邊(i, j, w)，稱為可行邊；
（2）km 演算法的核心思想就是通過修改某些點的標號（但要滿足點標始終是可行的），不斷增加圖中的可行邊總數，直到圖中存在僅由可行邊組成的完全匹配為止，此時這個匹配一定是最佳的（因為由可行點標的的定義，圖中的任意乙個完全匹配，其邊權總和均不大於所有點的標號之和，而僅由可行邊組成的完全匹配的邊權總和等於所有點的標號之和，故這個匹配是最佳的）。一開始，求出每個點的初始標號：lx[i]=max（即每個x方點的初始標號為與這個x方點相關聯的權值最大的邊的權值），ly[j]=0（即每個y方點的初始標號為0）。這個初始點標顯然是可行的，並且，與任意乙個x方點關聯的邊中至少有一條可行邊；
（3）然後，從每個x方點開始dfs增廣。dfs增廣的過程與最大匹配的hungary演算法基本相同，只是要注意兩點：一是只找可行邊，二是要把搜尋過程中遍歷到的x方點全部記下來（可以用vst搞一下），以進行後面的修改；
（4）增廣的結果有兩種：若成功（找到了增廣軌），則該點增廣完成，進入下乙個點的增廣。若失敗（沒有找到增廣軌），則需要改變一些點的標號，使得圖中可行邊的數量增加。方法為：將所有在增廣軌中（就是在增廣過程中遍歷到）的x方點的標號全部減去乙個常數d，所有在增廣軌中的y方點的標號全部加上乙個常數d，則對於圖中的任意一條邊(i, j, w)（i為x方點，j為y方點）：
<1>i和j都在增廣軌中：此時邊(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不變，也就是這條邊的可行性不變（原來是可行邊則現在仍是，原來不是則現在仍不是）；
<2>i在增廣軌中而j不在：此時邊(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值減少了d，也就是原來這條邊不是可行邊（否則j就會被遍歷到了），而現在可能是；
<3>j在增廣軌中而i不在：此時邊(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值增加了d，也就是原來這條邊不是可行邊（若這條邊是可行邊，則在遍歷到j時會緊接著執行dfs(i)，此時i就會被遍歷到），現在仍不是；
<4>i和j都不在增廣軌中：此時邊(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不變，也就是這條邊的可行性不變。
這樣，在進行了這一步修改操作後，圖中原來的可行邊仍可行，而原來不可行的邊現在則可能變為可行邊。那麼d的值應取多少？顯然，整個點標不能失去可行性，也就是對於上述的第<2>類邊，其lx[i]+ly[j]>=w這一性質不能被改變，故取所有第<2>類邊的 (lx[i]+ly[j]-w)的最小值作為d值即可。這樣一方面可以保證點標的可行性，另一方面，
經過這一步後，圖中至少會增加一條可行邊。
（5）修改後，繼續對這個x方點dfs增廣，若還失敗則繼續修改，直到成功為止；
（6）以上就是km演算法的基本思路。但是樸素的實現方法，時間複雜度為o(n4)——需要找o(n)次增廣路，每次增廣最多需要修改o(n)次頂標，每次修改頂標時由於要列舉邊來求d值，複雜度為o(n2)。實際上km演算法的複雜度是可以做到o(n3)的。我們給每個y頂點乙個「鬆弛量」函式slack，每次開始找增廣路時初始化為無窮大。在尋找增廣路的過程中，檢查邊(i,j)時，如果它不在相等子圖中，則讓slack[j]變成原值與 a[i]+b[j]-w[i,j]的較小值。這樣，在修改頂標時，取所有不在交錯樹中的y頂點的slack值中的最小值作為d值即可。但還要注意一點：修改頂標後，要把所有不在交錯樹中的y頂點的slack值都減去d。
【求二分圖的最小匹配】
只需把權值取反，變為負的，再用km算出最大權匹配，取反則為其最小權匹配。
hdoj 2255
#include
#include
#define m 310
#define inf 0x3f3f3f3f
int n,nx,ny;
int link[m],lx[m],ly[m],slack[m];
//lx,ly為頂標，nx,ny分別為x點集y點集的個數
int visx[m],visy[m],w[m][m];
int dfs(int x)
} else if (slack[y] > t)
//不在相等子圖中slack 取最小的
slack[y] = t;
} return 0;
}int km()
} int res = 0;
for (i = 1;i <= ny;i ++)
if (link[i] > -1)
res += w[link[i]][i];
return res;
}int main ()
return 0;
}
KM演算法模板
這是hdu2255 include include include include includeusing namespace std const int maxn 305 const int inf 0x3f3f3f3f int love maxn maxn 記錄每個妹子和每個男生的好感度 in...
KM演算法模板
km演算法是用來求完全二分圖最大完美匹配的演算法，其原理是不斷尋找增廣路 增廣路定理 相關性質 在最大二分圖匹配圖中，w x y lx x ly y include include include include include using namespace std const int maxn ...
模板 KM演算法
km 演算法計算帶權二分圖最優匹配 模板一 dfs 演算法，時間複雜度 o n 4 const int maxn 310 const ll inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f match i j表示右邊的第i個點匹配左邊的第j個點，也可能這兩個點之間其實沒有連邊，也就是權值為零 int n...