KM演算法詳解模板

先說km演算法求二分圖的最佳匹配思想，再詳講km的實現。

【km演算法求二分圖的最佳匹配思想】

對於具有二部劃分( v1, v2 )的加權完全二分圖，其中 v1= ， v2= ，邊< xi, yj >具有權值 wi,j 。該帶權二分圖中乙個總權值最大的完美匹配，稱之為最佳匹配。

記 l(x) 表示結點 x 的標記量，如果對於二部圖中的任何邊，都有 l(x)+ l(y)>= wx,y，我們稱 l 為二部圖的可行頂標。

設 g(v,e) 為二部圖， g'(v,e') 為二部圖的子圖。如果對於 g' 中的任何邊滿足， l(x)+ l(y)== wx,y，我們稱 g'(v,e') 為 g(v,e) 的等價子圖。

定理一：設 l 是二部圖 g 的可行頂標。若 l 等價子圖 g

l 有完美匹配 m，則 m 是 g 的最佳匹配。

證明：由於 gl 是 g 的等價子圖，m 是 gl 的完美匹配，所以，m 也是 g 的完美匹配。以由於對於匹配 m 的每條邊 e ，都有 e∈ e( gl )，而且 m 中每條邊覆蓋每個頂點正好一次，所以

w( m )= å w(e), e∈ m = å l(x), x∈ v

另一方面，對於 g 的任何完美匹配 m' 有

w( m' )= å w(e), e∈ m' <= å l(x), x∈ v

於是 w( m )>= w( m' )，即 m 是 g 的最優匹配。

由上述定理，我們可以通過來不斷修改可行頂標，得到等價子圖，從而求出最佳匹配。

就像匈牙利演算法一樣，我們依次為每乙個頂點 i 尋找增廣路徑，如果尋找增廣路徑失敗，我們就修改相應的可行頂標，來得到增廣路徑。

如圖：| 1 2 3 |

| 3 2 4 |

| 2 3 5 |

若要對這個完全二分圖求最佳匹配

初始化：

lx(1)= max= max= 3, ly(1)= 0

lx(2)= max= 4, ly(2)= 0

lx(3)= max= 5, ly(3)= 0;

我們建立等價子圖( 滿足 lx(x)+ ly(y)== w(x,y) ) 如下：

對於該圖，運用匈牙利演算法對 x

部頂點 1 求增廣路徑，得到乙個匹配，如圖( 紅色代表匹配邊 )：

對 x 部頂點 2 求增廣路徑失敗，尋找增廣路徑的過程為 x 2-> y 3-> x 1。我們把尋找增廣路徑失敗的 dfs 的交錯樹中，在 x 部頂點集稱之為 s，在 y 部的頂點集稱之為 t。則 s= ，t= 。現在我們就通過修改頂標值來擴大等價子圖，如何修改。

1) 我們尋找乙個 d 值，使得 d= min，因些，這時 d= min=

min= min= 1。

尋找最小的 d 是為了保證修改後仍滿足性質對於邊有 lx(x)+ ly(y)>= w(x,y)。

2) 然後對於頂點 x

1. 如果 x∈ s 則 lx(x)= lx(x)- d。

2. 如果 x∈ t 則 ly(x)= ly(x)+ d。

3. 其它情況保持不變。

如此修改後，我們發現對於邊，頂標 lx(x)+ ly(y) 的值為

1. lx(x)- d+ ly(y)+ d， x∈ s, y∈ t。

2. lx(x)+ ly(y)， x∉ s, y∉ t。

3. lx(x)- d+ ly(y)， x∈ s, y∉ t。

4. lx(x)+ ly(y)+ d， x∉ s, y∈ t。

易知，修改後對於任何邊仍滿足 lx(x)+ ly(y)>= w(x,y)，並且第三種情況頂標值減少了 d，如此定會使等價子圖擴大。

就上例而言: 修改後 lx(1)= 2, lx(2)= 3, lx(3)= 5, ly(1)= 0, ly(1)= 0, ly(2)= 0, ly(3)= 1。

這時 lx(2)+ly(1)=3+0=3= w(2,1)，在等價子圖中增加了一條邊，等價子圖變為：

如此按以上方法，得到等價子圖的完美匹配。

另外計算 d 值的時候可以進行一些優化。

定義 slack(y)= min

這樣能在尋找增廣路徑的時候就順便將 slack 求出。

（以上為摘上網路）

【km演算法及其具體過程】

（1）可行點標：每個點有乙個標號，記lx[i]為x方點i的標號，ly[j]為y方點j的標號。如果對於圖中的任意邊(i, j, w)都有lx[i]+ly[j]>=w，則這一組點標是可行的。特別地，對於lx[i]+ly[j]=w的邊(i, j, w)，稱為可行邊；

（2）km 演算法的核心思想就是通過修改某些點的標號（但要滿足點標始終是可行的），不斷增加圖中的可行邊總數，直到圖中存在僅由可行邊組成的完全匹配為止，此時這個匹配一定是最佳的（因為由可行點標的的定義，圖中的任意乙個完全匹配，其邊權總和均不大於所有點的標號之和，而僅由可行邊組成的完全匹配的邊權總和等於所有點的標號之和，故這個匹配是最佳的）。一開始，求出每個點的初始標號：lx[i]=max（即每個x方點的初始標號為與這個x方點相關聯的權值最大的邊的權值），ly[j]=0（即每個y方點的初始標號為0）。這個初始點標顯然是可行的，並且，與任意乙個x方點關聯的邊中至少有一條可行邊；

（3）然後，從每個x方點開始dfs增廣。dfs增廣的過程與最大匹配的hungary演算法基本相同，只是要注意兩點：一是只找可行邊，二是要把搜尋過程中遍歷到的x方點全部記下來（可以用vst搞一下），以進行後面的修改；

（4）增廣的結果有兩種：若成功（找到了增廣軌），則該點增廣完成，進入下乙個點的增廣。若失敗（沒有找到增廣軌），則需要改變一些點的標號，使得圖中可行邊的數量增加。方法為：將所有在增廣軌中（就是在增廣過程中遍歷到）的x方點的標號全部減去乙個常數d，所有在增廣軌中的y方點的標號全部加上乙個常數d，則對於圖中的任意一條邊(i, j, w)（i為x方點，j為y方點）：

<1>i和j都在增廣軌中：此時邊(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不變，也就是這條邊的可行性不變（原來是可行邊則現在仍是，原來不是則現在仍不是）；

<2>i在增廣軌中而j不在：此時邊(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值減少了d，也就是原來這條邊不是可行邊（否則j就會被遍歷到了），而現在可能是；

<3>j在增廣軌中而i不在：此時邊(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值增加了d，也就是原來這條邊不是可行邊（若這條邊是可行邊，則在遍歷到j時會緊接著執行dfs(i)，此時i就會被遍歷到），現在仍不是；

<4>i和j都不在增廣軌中：此時邊(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不變，也就是這條邊的可行性不變。

這樣，在進行了這一步修改操作後，圖中原來的可行邊仍可行，而原來不可行的邊現在則可能變為可行邊。那麼d的值應取多少？顯然，整個點標不能失去可行性，也就是對於上述的第<2>類邊，其lx[i]+ly[j]>=w這一性質不能被改變，故取所有第<2>類邊的 (lx[i]+ly[j]-w)的最小值作為d值即可。這樣一方面可以保證點標的可行性，另一方面，

經過這一步後，圖中至少會增加一條可行邊。

（5）修改後，繼續對這個x方點dfs增廣，若還失敗則繼續修改，直到成功為止；

（6）以上就是km演算法的基本思路。但是樸素的實現方法，時間複雜度為o(n4)——需要找o(n)次增廣路，每次增廣最多需要修改o(n)次頂標，每次修改頂標時由於要列舉邊來求d值，複雜度為o(n2)。實際上km演算法的複雜度是可以做到o(n3)的。我們給每個y頂點乙個「鬆弛量」函式slack，每次開始找增廣路時初始化為無窮大。在尋找增廣路的過程中，檢查邊(i,j)時，如果它不在相等子圖中，則讓slack[j]變成原值與 a[i]+b[j]-w[i,j]的較小值。這樣，在修改頂標時，取所有不在交錯樹中的y頂點的slack值中的最小值作為d值即可。但還要注意一點：修改頂標後，要把所有不在交錯樹中的y頂點的slack值都減去d。

【求二分圖的最小匹配】

只需把權值取反，變為負的，再用km算出最大權匹配，取反則為其最小權匹配。

hdoj 2255
#include #include #define m 310
#define inf 0x3f3f3f3f
int n,nx,ny;
int link[m],lx[m],ly[m],slack[m]; //lx,ly為頂標，nx,ny分別為x點集y點集的個數
int visx[m],visy[m],w[m][m];
int dfs(int x)
}else if (slack[y] > t) //不在相等子圖中slack 取最小的
slack[y] = t;
}return 0;
}int km()
}int res = 0;
for (i = 1;i <= ny;i ++)
if (link[i] > -1)
res += w[link[i]][i];
return res;
}int main ()
return 0;
}

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