堆和堆排序

堆是一種靈巧的、部分有序的資料結構，它尤其適合用來實現優先佇列。

優先佇列是元素的乙個集合，其中每個元素都包含乙個被稱為元素優先順序的可排序屬性。優先佇列支援下面的操作：

通過採用堆這種資料結構可以高效實現這些操作。

下文分兩部分：第一部分介紹堆；第二部分講解堆排序。

堆可以定義為一棵二叉樹，樹的節點中包含鍵（每個節點乙個鍵），並且滿足下面兩個條件：

樹的形狀要求--這棵二叉樹是基本完備的（或者簡稱完全二叉樹），這意味著，樹的每一層都是滿的，除了最後一層最右邊的元素有可能缺位。

父母優勢要求--每乙個節點的鍵都要大於或等於它子女的鍵（對於任何葉子我們認為這個條件都是自動滿足的）。（最大堆）

在堆中，鍵值是從上到下排序的。在任何從根到某個葉子的路徑上，鍵值的序列式遞減的。鍵值之間不存在從左到右的次序。在樹的同一層的節點之間，不存在任何關係。在同一節點的左右子樹之間也沒有任何關係。

堆的重要特徵：

只存在一棵n個節點的完全二叉樹。它的高度等於log2n。

堆的根總是包含了堆的最大元素。

堆的乙個節點以及該節點的子孫也是乙個堆。

可以用陣列來實現堆，方法是用從上到下、從左到右的方式來記錄堆的元素。為了方便起見，可以在這種陣列從1到n的位置上存放堆元素，留下h[0]（可以在其中放乙個限位器）。在這種表示法中：

a. 父母節點的鍵將會位於陣列的前[n / 2]個位置中，而葉子節點的鍵將會佔據後[n / 2]個位置。

b. 在陣列中，對於乙個位於父母位置i(1<=i<=[n / 2])的鍵來說，它的子女將會位於2i和2i+1，相應地，對於乙個位於i(2<=i<=n)的鍵來說，它的父母將會位於[i/2]。

我們可以將堆定義為乙個陣列h[1…n]，其中，陣列前半部分中每個位置i上的元素，總是大於等於位置2i和2i+1中的元素。

對於i=1,…,[n / 2]， h[i]>=max

從最後的父母節點開始，到根為止，檢查這些節點的鍵是否滿足父母優勢要求。如果該節點不滿足，則把節點的鍵k和它子女的最大鍵進行交換，然後再檢查在新位置上，k是不是滿足父母優勢要求。這個過程一直持續到，對k的父母優勢要求滿足為止。對於以當前父母節點為根的子樹，在完成了它「堆化」以後，該演算法對於該幾點的直接前趨進行同樣的操作，直到對樹的根完成了這種操作以後，該演算法就停止。

演算法 heapbottomup(h[1..n])

//用自底向上演算法，從給定陣列的元素中構建乙個堆

//輸入：乙個可排序元素的陣列h[1..n]

//輸出：乙個堆h[1..n]

從堆中刪除最大的鍵

第一步：根的鍵和堆的最後乙個鍵k做交換。

第二步：堆的規模減一。

第三步：嚴格按照自底向上堆構造演算法把k沿著樹向下刪選，來對這棵較小的樹進行「堆化」。驗證k是否滿足父母優勢：如果它滿足，操作完成；如果不滿足，k和它較大的子女做交換；然後重複這個操作，直到k在新位置中滿足了父母優勢要求為止。

堆排序是由j.w.j.williams提出。堆排序的時間效率輸入o(nlogn)。這個演算法分為兩步：

第一步：（構造堆）為乙個給定的陣列構造乙個堆。

第二部：（刪除最大鍵）對剩下的堆應用n-1次根刪除操作。

對於堆的陣列實現來說，乙個正在被刪除元素師位於最後的，所以結果陣列將敲好是按照公升序排列的原始陣列。

#include #include //陣列從1到n的位置上存放堆元素,a[0]不參與構造堆。
//可以將a[0]空著，也可以在其中放乙個限位器。
/**********自底向上構造最大堆**************/
void heapbottomup(int a, int n)
} a[k] = tmp; }}
/**********自底向上調整最大堆**************/
void fixheapbottomup(int a, int n)
} a[i] = tmp;
}/**********自頂向下調整最大堆**************/
void fixheapupbottom(int a, int n)
} a[i] = tmp;
}/**********插入乙個數**************/
void insertnumber(int a, int n, int num)
/**********刪除最大鍵**************/
int deletenumber(int a, int n)
/**********堆排序**************/
void heapsort(int a, int n)
int main(int argc, const char *argv)
; int n = sizeof(a) / sizeof(int);
heapsort(a, n - 1);
for(int i = 1; i < 7; i ++)
printf("%d ", a[i]);
return 0;
}

堆和堆排序

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