能使用消元法的情況：每次消元過程中，對角線元素始終不能為0，即矩陣可逆
我們一般利用高斯消元法進行矩陣的消元。下面我們通過舉例說明：
如果按照我們初中所學的解法，一般是先用第三個方程將z用y表示，然後代入到第二個方程就可以用x來表示y和z，最後代入第乙個方程就可以求得x,y,z。這個演算法的核心就是消元！下面我們看看矩陣形式的消元法。
首先將上面的三元一次方程組表示為矩陣形式為：
其中，上圖中的第乙個矩陣就是所說的增廣矩陣，我們記作a，經過步驟e21得到的矩陣為b，經過步驟e32得到的矩陣為c。
步驟e21的目的是a21=0，這裡是指用第二行減去第一行的三倍
步驟e32的目的是使a32=0，這裡是指用第三行減去第二行的兩倍
注：高斯消元的目的是使原矩陣(不要考慮最後一列，這一列是等式右邊的，matlab是分別對左右兩邊進行消元的，我這裡寫在一起是為了方便)對角線下面的元素為0，變成上三角矩陣，在上面例子中本應該在步驟e21和步驟e32中還有步驟e31,使得a31=0。但是原矩陣的a31=0，所以沒有必要進行操作。儘管這一步驟沒有必要，但matlab會進行操作（沒有人機智）。
通過消元得到的結果矩陣c（上圖中的第三個矩陣），我們可以寫出其方程組的形式：
上面方程組可以直接看出，z=-2,然後代入第二個方程得到y=1,再代入第乙個方程得到x=2。
在上面的消元過程中，原始矩陣a經過步驟e21得到矩陣b，矩陣b經過步驟e32得到矩陣c，我們用矩陣來表示步驟e21，步驟e32，則可以得到：
把這兩步綜合起來得到：
總結，我們令方程組左邊的矩陣為d，用初等矩陣e來表示消元操作，用上三角矩陣u表示消元得到的結果，則以上式為例：
1、行交換：左乘
2、列交換：右乘
原文：
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