貝塞爾曲線

1.概述

貝塞爾曲線(bézier curve)，又稱

貝茲曲線或貝濟埃曲線，是應用於二維圖形應用程式的數學曲線。一般的向量圖形

軟體通過它來精確畫出曲線，貝茲曲線由

線段與節點組成，節點是可拖動的支點，線段像可伸縮的皮筋，我們在繪圖工具上看到的鋼筆工具就是來做這種向量曲線的。貝塞爾曲線是計算機圖形學中相當重要的引數曲線，在一些比較成熟的點陣圖軟體中也有貝塞爾

曲線工具，如photoshop等。在flash4中還沒有完整的曲線工具，而在flash5裡面已經提供出貝塞爾曲線工具。

貝塞爾曲線於1962，由法國工程師皮埃爾·貝塞爾（pierre bézier）所廣泛發表，他運用貝塞爾曲線來為汽車的主體進行設計。貝塞爾曲線最初由paul de casteljau於2023年運用de casteljau演演算法開發，以穩定數值的方法求出貝茲曲線。

2.曲線的作用

由於用計算機

畫圖大部分時間是操作

滑鼠來掌握線條的

路徑，與

手繪的感覺和效果有很大的差別。即使是一位精明的

畫師能輕鬆繪出各種

圖形，拿到滑鼠想

隨心所欲

的畫圖也不是一件容易的事。這一點是

計算機萬萬不能代替手工的工作，所以到目前為止人們只能頗感無奈。使用

貝塞爾工具

畫圖很大程度上彌補了這一缺憾。

貝塞爾曲線

貝塞爾曲線是計算機圖形影象造型的基本工具，是圖形造型運用得最多的基本線條之一。它通過控制曲線上的四個點（起始點、終止點以及兩個相互分離的中間點）來創造、編輯圖形。其中起重要作用的是位於曲線**的控制線。這條線是虛擬的，中間與貝塞爾曲線交叉，兩端是控制端點。移動兩端的端點時貝塞爾曲線改變曲線的曲率（彎曲的程度）；移動中間點（也就是移動虛擬的控制線）時，貝塞爾曲線在起始點和終止點鎖定的情況下做均勻移動。注意，貝塞爾曲線上的所有控制點、

節點均可編輯。這種「智慧型化」的向量線條為

藝術家提供了一種理想的圖形編輯與創造的工具。

3.公式

給定點p0、p1，線性貝茲曲線只是一條兩點之間的直線。這條線由下式給出：

且其等同於線性插值。

二次方貝茲曲線的路徑由給定點p0、p1、p2的函式b（t）追蹤：

truetype字型就運用了以貝茲樣條組成的二次貝茲曲線。

p0、p1、p2、p3四個點在平面或在三維空間中定義了三次方貝茲曲線。曲線起始於p0走向p1，並從p2的方向來到p3。一般不會經過p1或p2；這兩個點只是在那裡提供方向資訊。p0和p1之間的間距，決定了曲線在轉而趨進p3之前，走向p2方向的「長度有多長」。

曲線的引數形式為：

現代的成象系統，如postscript、asymptote和metafont，運用了以貝茲樣條組成的三次貝茲曲線，用來描繪曲線輪廓。

階貝茲曲線可如下推斷。給定點p0、p1、…、pn，其貝茲曲線即：

如上公式可如下遞迴表達：用表示由點p0、p1、…、pn所決定的貝茲曲線。

用平常話來說，階的貝茲曲線，即雙階貝茲曲線之間的插值。

1.開始於p0並結束於pn的曲線，即所謂的端點插值法屬性。

2.曲線是直線的充分必要條件是所有的控制點都位在曲線上。同樣的，貝塞爾曲線是直線的充分必要條件是控制點共線。

3.曲線的起始點（結束點）相切於貝塞爾多邊形的第一節（最後一節）。

4.一條曲線可在任意點切割成兩條或任意多條子曲線，每一條子曲線仍是貝塞爾曲線。

5.一些看似簡單的曲線（如圓）無法以貝塞爾曲線精確的描述，或分段成貝塞爾曲線（雖然當每個內部控制點對單位圓上的外部控制點水平或垂直的的距離為時，分成四段的貝茲曲線，可以小於千分之一的最大半徑誤差近似於圓）。

6.位於固定偏移量的曲線（來自給定的貝塞爾曲線），又稱作偏移曲線（假平行於原來的曲線，如兩條鐵軌之間的偏移）無法以貝茲曲線精確的形成（某些瑣屑例項除外）。無論如何，現存的啟發法通常可為實際用途中給出近似值。

貝塞爾曲線

貝塞爾曲線

貝塞爾曲線

貝塞爾曲線

相關推薦