貝塞爾曲線

貝塞爾曲線在android中運用廣泛，可以用來繪製各類複雜曲線，因為貝塞爾曲線只需要指定控制點，就能繪製出特定的曲線。其次是做點和點的平滑過渡。為什麼可以做到如上兩點，看下面的講解：

首先來說，貝塞爾曲線有階的概念，這個階可以理解為控制點，一階的控制點只有兩個。如上是一階的方程，其中t取值為0到1，可以理解為時間，從開始到結束。**如下：

圖中可以看到，點隨著t的變化從p0到p1運動，一階的貝塞爾其實就是一條直線。

那麼二階又是如何呢：

方程如上，可以通過一階方程推導出來，這裡不做演算，看看**：

**中可以看到，有3個控制點。在控制點p0到p1之間有乙個點隨著t變化而運動，在p1到p2之間也有點隨著變動，他們兩個點遵循一階方程，而兩個點的連線上又有乙個點隨著t運動，這個點也遵循一階方程，所以可以推導出上訴方程。

再來看看三階方程和**：

接下來是四階和五階的貝塞爾曲線**：

從上面的圖中可以看出：

1. 貝塞爾曲線，可以由控制點來控制曲線的走勢。

1. 拐點處，曲線可以平滑過渡

由以上兩點結論，可以看出，貝塞爾曲線可以用來方便簡單的繪製各類曲線，同時，可以用於平滑處理拐點。後面將講解示例。

//二階  
public void quadto(float x1, float y1, float x2, float y2) 
public void rquadto(float dx1, float dy1, float dx2, float dy2) 
//三階 
public void cubicto(float x1, float y1, float x2, float y2,float x3, float y3) 
public void rcubicto(float x1, float y1, float x2, float y2,float x3, float y3)

在path類中有如上四個方法是有關於貝塞爾曲線的，其中前面兩個是二階，後面兩個是三階。

這裡quadto以及cubicto方法都是直接接收控制點的座標，而rquadto以及rcubicto接收的是相對座標，即相對上乙個控制點的相對座標

例如：

path.moveto(100,300);  
path.rquadto(100,-100,200,0); 
path.rquadto(100,100,200,0);

等價於

path.moveto(100,300);  
path.quadto(200,200,300,300); 
path.quadto(400,400,500,300);

假設我們有四個個資料點，需要繪製出他們組成的連線，資料點資料為,。那麼繪製出來的結果如下：

這就是四個點依次連線所組成的連線，看起來是沒有問題的。如果，這裡有乙個需求，需要將這個折線變成平滑的曲線，那麼我們應該怎麼做呢。從上面講解的知識知道，折線的過渡，可以使用貝塞爾曲線。

貝塞爾曲線的核心在於找到合適的控制點，因為控制點中，曲線一定會經過首尾兩個點，那麼圖中的四個點，應該分別為首尾控制點。

先看一下最終繪製的曲線：

看起來確實平滑了，這四個紅色的點就是上面的資料點，根據上面的結論，要讓曲線經過他們，他們必須相鄰的兩個點為首尾控制點，那麼這裡使用幾階的貝塞爾合適呢。

我們以第二和第三兩個點作為入手點（因為任意兩個點是控制點的首尾，屬於同一組控制點），要讓曲線從點1平滑過渡到點2，再從點3平滑過渡到點四，那麼這曲線的走勢必然要受到點1，點4的影響，也就是說，兩個相鄰資料點之間的曲線走勢，不僅受到自己的所在位置的影響，還受到前後兩點的影響，加起來其實影響這段曲線走勢的就有四個點。那麼可以推斷出來，四個點的貝塞爾曲線，當然是三階曲線。

那麼既然相鄰兩個資料點是控制點的首尾點，那麼另外兩個控制點又該如何求得呢，從上面的分析可以知道，另外兩個控制點，是為了控制曲線的走勢。我們先來完整控制點的圖：

圖中綠色的為控制點，紅色的為資料點，每個資料點實際上也是控制點之一（只是首尾點），因此資料點既有紅色也有綠色。可以看到點2和點3之間的兩個控制點，乙個靠近點2，乙個靠近點3，靠近點2的控制點比點2高，靠近點3的控制點也比點3高，這是為什麼呢。

先看上圖，將靠近點2和點3的兩個控制點分別標識為點a，和點b。

現在的問題在於，如何求的點a和點b的座標。

點a，點b作為資料點2，和3之間的控制點，他們的作用，其實是為了體現前後資料點的連線趨勢。先來看點a，點a要起到的作用就是要順利的讓資料點2平滑的過渡從資料點1來的曲線，並且要將曲線平滑的過渡到資料點3，那麼點a相關的點就應該有資料點1，資料點2,以及資料點3。也就是說，點a的值應該由這3個點求出。同理，點b也會由他臨近的資料點，以及該資料點前面的資料點和後面的資料點求得。也就是資料點3，資料點2，資料點4求得。

**如下：

final float line_smoothness = 0.2f;
final float firstdiffx = (currentpointx - prepreviouspointx);
final float firstdiffy = (currentpointy - prepreviouspointy);
final float seconddiffx = (nextpointx - previouspointx);
final float seconddiffy = (nextpointy - previouspointy);
final float firstcontrolpointx = previouspointx + (line_smoothness * firstdiffx);
final float firstcontrolpointy = previouspointy + (line_smoothness * firstdiffy);
final float secondcontrolpointx = currentpointx - (line_smoothness * seconddiffx);
final float secondcontrolpointy = currentpointy - (line_smoothness * seconddiffy);
path.cubicto(firstcontrolpointx, firstcontrolpointy, secondcontrolpointx, secondcontrolpointy,currentpointx, currentpointy);

**中，最後的path.cubicto就是呼叫了四階貝塞爾曲線的方法。其中firstcontrolpointx對應的是點a的x座標，secondcontrolpointx對應的是點b的x座標，currentpointx對應資料點3的x座標。previouspointx對應了前乙個資料點也就是資料點2的x座標，prepreviouspointx對應了資料點1，nextpointx對應了資料點4。

以上的**可以看出，點a，點b的相關點與我們之前分析的一致。那麼這裡除了這些數值以外，還有乙個變數line_smoothness，這個是做什麼的呢。從它的名字可以看出，他是調整曲線的平滑程度的，值變化會引起控制點a，b的變化，從而影響曲線的形態。

final float line_smoothness = 0.4f;

來看看值調整為0.2，和0.4的對比曲線：左邊為0.2右邊為0.4，可以根據具體需求調整值

貝塞爾曲線

貝塞爾曲線

貝塞爾曲線

貝塞爾曲線

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