演算法導論學習線段樹 2

線段樹（1）

1. 線段樹應用之動態點插與統計：

如上圖所示，我們最後統計的時候是找出cover不為零的節點，（再上圖對應的是節點[3,4]. [5,6], [2], [4], [5], [7].),但是注意到[3,4]和[4] 還有[5,6]和[5]不能從重複統計，所以最後統計的長度是[2]+[3,4]+[5,6]+[7]=6.所以四根木條在牆上的總投影長是6.

現在我們可以來歸納一下區段插值的幾個重要部分：首先是插入動作，比如插入[l, r]線段，插入動作需要遞迴的從根節點開始插入，而遞迴的出口就是找到能夠和[l, r]完全匹配的線段樹節點，即找到a[i].left==l and a[i].right==r，並且同時將a[i].cover值加1.，遞迴終止。然後是刪除動作，假設刪除[l, r]，同樣的也是要從根節點開始刪除，也是要遞迴的找到與[l, r]完全匹配的線段樹節點a[i]，並且將a[i].cover值減去1.最後是統計，仍然是從根節點開始遞迴的統計，遞迴的出口要麼是找到的節點a[i]滿足a[i].cover>=0，則返回該節點代表的區段長度。要麼是找到葉子節點（a[i].left==a[i].right），如果葉子節點的cover不為0，則返回1，否則返回零。

以上是對區段插入的回顧，下面開始介紹動態點插與統計。所謂動態點插（其實是我自己diy的，所以我就用圖表示一下吧，大家理解就好）

如上圖所示，1-8表示相互連線的8個槽，然後在這些草內的任意位置放置任意數量個小球，然後讓你求出任意區段內[l, r]的小球數量。比如[2,3]區段內的小球數量是2，[1,6]區段內的小球數量是6。要解決這個問題，可以優良中辦法，一種方法不用說也知道，暴力嘛，開乙個陣列a，然後更新陣列的值。。這種做法當「槽」的範圍過大時是效率很低的。所以這時候線段樹再次派上用場了。我們還是用cover域來表示某個節點縮地阿彪範圍的小球數量。比如根節點代表1-8槽的小球數量。

###第一步，建立線段樹（裡面有介紹，這裡直接跳過）

###第二步，線段樹插入（點插）

1
void updatepoint(int pos,int step)

我們可以看到，線段樹點插動作是「一路插值的」，這也不難理解，比如我在第3個槽內放置乙個球，那麼顯然的，節點[3].num=1,但同時的，節點[3,4],[1,2,3,4],[1,2,3,4,5,6,7,8]的num值也是為1.所以線段樹點插可以理解記憶為：一路遞迴向下插值。

###第三步，線段樹統計

1
int query(int l,int r,int
step)
5else
12return
ans;13}
14 }

可以看到，線段樹點插結果統計是按照區段來查詢的，所以遞迴查詢的出口也就是找到與之匹配的節點，然後返回相應的cover值，對應**2-4行。如果與當前節點不匹配，則遞迴的「往下」查[6-8]，如果帶查詢區段在左右子樹都有子結果，則返回兩個子結果之和。

2. 線段樹應用之區間最大最小值問題：

-----------------------------------

1 #include2 #include3 #include4
using
namespace
std;
5const
int max_size=100;6
const
int inf=1
<<30;7
struct
segmenttreea[max_size*3
];10
void buildtree(int l,int r,int
rt)20
void insert(int pos,int v,int
rt) 
26int mid=(a[rt].lc+a[rt].rc)/2;27
if(pos<=mid) insert(pos,v,rt*2
);28
else insert(pos,v,rt*2+1
);29 a[rt].mi=min(a[rt*2].mi,a[rt*2+1
].mi);
30 a[rt].mx=max(a[rt*2].mx,a[rt*2+1
].mx);31}
32int query_min(int l,int r,int
rt)41}42
intmain()
51 scanf("
%d",&q);
52while(q--)57}
58 }

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