演算法學習14 線段樹

線段樹要解決的問題是: 在乙個實時更新的動態陣列中查詢區間和(或廣義的區間狀態,如區間積,區間最大最小值).

若所查詢的陣列為靜態陣列,則此問題只需要使用陣列字首和即能解決.

線段樹是一種平衡二叉樹,其每個節點儲存陣列中一段區間和.其左子節點儲存區間左半部分和;其右子節點儲存區間右半部分和.

線段樹陣列的內容為[15, 3, 12, 1, 2, 7, 5, 0, 1, 0, 0, 3, 4],注意到陣列中對應完全二叉樹的下標9和下標10的節點不存在.

為了便於下標計算,我們的實際線段樹陣列下標是從1開始的,0位被浪費了.

線段樹開闢的陣列長度應為原陣列長度的四倍,證明如下:

若原陣列nums的長度為n,線段樹深度h應為⌈lo

g2n+

1⌉\lceil log_n+1\rceil

⌈log2​

n+1⌉

,則該完全二叉樹的陣列長度應為2h+

1⩽4n

2^\leqslant4n

2h+1⩽4

n.

private

int[
] segmenttree;
// 線段樹的結構
// 構造線段樹
private
void
buildsegmenttree
(int
nums)
// 構造線段樹上的segment[pos]節點,該節點儲存原nums陣列[leftindex,rightindex]部分的陣列和
private
intbuildsegmenttree
(int
nums,
int pos,
int leftindex,
int rightindex)
else
// 返回該節點對應的區間和
return segmenttree[pos]
;}

// 列印整顆線段樹

public
void
printsegmenttree()
// 先序遍歷列印線段樹第pos位為樹根的子樹,該節點儲存原nums陣列leftindex至rightindex部分的陣列和
private
void
printsegmenttree
(int pos,
int leftindex,
int rightindex,
int layer)
// 顯示樹根節點
system.out.
println
("["
+ leftindex +
" "+ rightindex +
"]: "
+ segmenttree[pos]);
// 若存在子樹,則遞迴列印左右子樹
if(leftindex < rightindex)
}

區間和的查詢應用二分思想,不斷將當前區間二分直到當前區間全部位於查詢區間內,這時將該節點所儲存的區間和與其它所有位於查詢區間內的子區間和相加得到總的查詢區間和.

// 查詢原sum陣列qleftindex到qrightindex部分陣列和

public
intsumrange
(int qleft,
int qright)
// 在 `線段樹陣列中代表原sum陣列[leftindex,rightindex]區間內` 二分查詢 `原sum陣列[qleftindex,qrightindex]區間和`
private
intsumrange
(int pos,
int leftindex,
int rightindex,
int qleftindex,
int qrightindex)
else
if(qleftindex <= leftindex && qrightindex >= rightindex)
else
}

從根節點(對應原nums陣列[0, nums.len-1]區間和)開始,不斷將其所有包含第i位的子區間加上對應的偏移量.

// 將原陣列nums第i位的值改為val

public
void
update
(int i,
int val)
// 將線段樹中 包含原陣列第i位的所有區間和 加上乙個 增量delta
private
void
update
(int pos,
int i,
int delta,
int leftinndex,
int rightindex)
}

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