演算法學習筆記主席樹

出題出掛了，來好好學主席樹了

線段樹沒了

對於使用線段樹，我們可以較好地解決「帶修改的全域性第k大（或小）問題」。但是對於某個區間進行求第k大（或小）操作就不是那麼容易了。

可持久化一詞在資料結構中十分常見。「可持久化」的意思就是「帶有歷史版本的」資料結構。而在我們所接觸到的基本資料結構中（如陣列、並查集、平衡樹等）都有各自的可持久化版本。

主席樹，又名「可持久化線段樹」。至於為什麼叫「主席樹」我也不是特別明白。其基本狀態就是乙個可以查詢多個歷史版本的線段樹。

p3834 【模板】可持久化線段樹 1（主席樹）

這是個非常經典的主席樹入門題——靜態區間第 $k$ 小

如題，給定 $n$ 個整數構成的序列，將對於指定的閉區間查詢其區間內的第 $k$ 小值。

第一行包含兩個正整數 $n,m$，分別表示序列的長度和查詢的個數。

第二行包含 $n$ 個整數，表示這個序列各項的數字。

接下來 mm 行每行包含三個整數 $l,r,k$ , 表示查詢區間 $[l,r]$ 內的第 $k$ 小值。

輸出包含 $m$ 行，每行乙個整數，依次表示每一次查詢的結果

根據上文所說，主席樹就是帶有歷史版本的線段樹。如果要維護歷史版本，最普通的思想就是建立多個完整的線段樹，並在其上面進行操作。

但是很明顯這個方案是不可行的。對於乙個時間複雜度在 $o(nlogn)$ 級別上的演算法來說，資料通常在 $10^5 - 10^6$。如果維護的歷史版本過多，會導致空間複雜讀過大(每個歷史版本的空間都在 $n<<2$ 即 $n*4$ 的級別上)。

對於每次修改，幾乎沒有對全域性所有節點的修改。所以在進行修改時我們只需要將被修改的點建立乙個新的「存檔」就可以完成修改。

一般的我們只需要新建從根開始向下經過的每乙個點就行了。（如下圖所示）

模板題要求查詢區間內第k小。根據以往經驗我們可以選擇運用「權值線段樹」解決問題。

對於題目要求的區間查詢，我們可以運用字首和的思想解決問題，即用 $ [1,l-1] $ 中的資料與 $[1,r]$ 中的資料做差得出區間內的「權值線段樹」（而不用以**的複雜度為每次詢問建樹）

對於主席樹我們並不能像線段樹那樣通過公式（$ls=now<<1,\ rs=now<<1|1$）計算出其左右兒子的下標，所以我們就需要建立起陣列（或結構體解決）記錄節點資訊

const int n=2e5+15;
int rt[n],ls[n<<5],rs[n<<5],sum[n<<5],tot;

然後就是建樹了。

建樹的時候對於模板題我們需要先建乙個空的樹，作為以後修改的基準點。

void build(int &o,int l,int r)

（真的和線段樹建樹一模一樣呢（大霧））

inline int modify(int o,int l,int r,int p)

模板題的查詢和線段樹的基本相同。在查詢的時候可以想象一顆線段樹，每個節點的值是以 $rt[r]$ 為根的線段樹相應節點的值減去 $rt[l-1]$ 為根的線段樹相應節點的值（可以模擬字首合理解）

對於這樣乙個線段樹就可以運用已有知識解決。

inline int query(int l,int r,int l,int r,int k)

主席樹可以較好地維護乙個「支援查詢歷史版本的」線段樹，對於可持久化陣列我們可以利用其支援歷史版本的特點，實現可持久化

如題，你需要維護這樣的乙個長度為 nn 的陣列，支援如下幾種操作

在某個歷史版本上修改某乙個位置上的值

訪問某個歷史版本上的某一位置的值

此外，每進行一次操作（對於操作2，即為生成乙個完全一樣的版本，不作任何改動），就會生成乙個新的版本。版本編號即為當前操作的編號（從1開始編號，版本0表示初始狀態陣列）

輸入的第一行包含兩個正整數 $n,m$, 分別表示陣列長度和操作的個數

第二行包含 $n$ 個整數，依次為初始狀態下陣列各位的值 (依次為 $a_i$, $1\leq i \leq n$ )

接下來 $m$ 行包含 $3$ 或 $4$ 個整數，代表兩種操作之一 ($i$ 為基於的歷史版本號)：

$1.$ 對於操作 $1$ , 格式為 $ v_i\ 1\ loc_i\ value_i$ 即在版本 $v_i$ 的基礎上，將 $a_$ 修改為 $value_i$

$2.$ 對於操作 $2$ , 格式為 $ v_i\ 2\ loc_i\ $ 即訪問版本 $v_i$ 中 $a_$ 的值，生成一樣版本的物件應為 $v_i$

輸出包含若干行，依次為每個操作 $2$ 的結果。

利用主席樹解決

我們可以原陣列存放在$rt[0]$的樹的葉子節點，對於每一次修改直接修改即可

#include#include#include#include#include#include#includeusing namespace std;
#define rg register
#define ll long long
#define ull unsigned long long
namespace enterprise
const int n=1e6+15;
int val[n<<5],rt[n],ls[n<<5],rs[n<<5],a[n],tot;
int n,m;
inline int build(int l,int r)//遍歷到葉子節點賦值
int mid=(l+r)>>1;
ls[o]=build(l,mid);
rs[o]=build(mid+1,r);
return o; } 
inline int change(int pre,int l,int r,int x,int v)
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid) ls[o]=change(ls[pre],l,mid,x,v);
else rs[o]=change(rs[pre],mid+1,r,x,v);
return o; } 
inline int query(int now,int l,int r,int x)
inline void main()else
} }}signed main()

主席樹的基本操作的線段樹思想大體一致，時間複雜度也基本一致。

對於建樹，時間複雜度為 $o(nlogn)$

由於這裡查詢和修改都是單點操作，所以時間複雜度為 $o(logn)$

所總體時間複雜度基本為 $o((m+n)logn)$

對於 $rt[0]$ 來說，空間複雜度=正常線段樹空間複雜度，即最壞 $o(4n)$

對於每次修改，由於僅修改了 $logn$ 個節點，所以所有新建版本的最壞複雜度為 $o(mlogn)$

一般的對於所有節點及其對應值（如節點值，左右兒子等）我們可以開20倍空間，或者 $maxn<<5$ 處理。各位大佬肯定已經知道了。

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