方法二——母函式
下面我們從另乙個角度，即「母函式
」的角度來考慮這個問題。
所謂母函式，即為關於x的乙個多項式g(x)：
有g(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ......
則我們稱g(x)為序列(a0, a1, a2,.....)的母函式。關於母函式的思路我們不做更過分析。
我們從整數劃分考慮，假設n的某個劃分中，1的出現個數記為a1，2的個數記為a2，.....，i的個數記為ai，
顯然有：ak <= n/k（0<= k <=n）
因此n的劃分數f(n,n)，也就是從1到n這n個數字抽取這樣的組合，每個數字理論上可以無限重複出現，即個數隨意，使它們的綜合為n。顯然，數字i可以有如下可能，出現0次（即不出現
），1次，2次，......，k次等等。把數字i用（x^i）表示，出現k次的數字i用（x^(i*k)
）表示，不出現用1表示。
例如，數字2用x^2表示，2個2用x^4表示，3個2用x^6表示，k個2用x^2k表示。
則對於從1到n的所有可能組合結果我們可以表示為：
g(x) = ( 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n)*(1 + x^2 + x^4 + x^6 + ....)....(1 + x^n)
= g(x,1)*g(x,2)*g(x,3)*....*g(x,n)
= a0 + a1*x + a2*x^2 +...+ an*x^n + ....//展開式
上面的表示式中，每個括號內的多項式代表了數字i的參與到劃分中的所有可能情況。因此，該多項式展開後，由於x^a *x^b = x^(a+b)，因此x^i就代表了i的劃分，展開後（x^i
）項的係數也就是i的所有劃分個數，即f(n,n) = an。
由此我們找到了關於整數劃分的母函式g(x)；剩下的問題就是，我們需要求出g(x)的展開後的所有係數。
為此，我們首先要做多項式乘法，對於我們來說，並不困難。我們把乙個關於x的多項式用乙個整數陣列a表示，a[i]代表x^i的係數，即：
g(x) = a[0] + a[1]x + a[2]x^2 + ... + a[n]x^n;
則關於多項式乘法的**如下，其中陣列a和陣列b表示兩個要相乘的多項式，結果儲存到陣列c中。
#include #include #include //母函式法求整數劃分
#define maxnum 100 //最高次數
unsigned long a[maxnum];
unsigned long b[maxnum];
unsigned long c[maxnum]; //儲存結果
//兩個多項式進行乘法，係數分別儲存在a和b中，結果儲存到c，項的最大次數到maxnum
void poly()
}}//計算前n項的係數，即g(x,1)*g(x,2)*....*g(x,n)的展開結果
void init(int m)
//for(j = 2; j <= maxnum; j++)//只能求f(n,n)
//通過修改這裡，使得可以求f(n,m)，對於任意的正整數n,m都適合
for(j = 2; j <= m; j++)
//多項式相乘:c = a * b
poly();
//將結果c儲存到a中
memcpy(a, c, sizeof(c));
}}//母函式方法得出整數劃分相應的劃分數目
//n:整數
//m:劃分方法
void calprint(int n, int m)
else
}int main(int argc, char **argv)
if(m <= 0)
printf("母函式法");
calprint(n,m);
return 0;
}
改進：現在要求整數只能拆分成1,2,4,10,20,40,100,200,400,1000,2000這11個數
母函式法求解整數劃分
#include #include #include //母函式法求整數劃分
#define maxnum 6001 //最高次數
unsigned long a[maxnum];
unsigned long b[maxnum];
unsigned long c[maxnum]; //儲存結果
int d = ;
//兩個多項式進行乘法，係數分別儲存在a和b中，結果儲存到c，項的最大次數到maxnum
void poly()
}}//計算前n項的係數，即g(x,1)*g(x,2)*....*g(x,n)的展開結果
void init(int m)
//for(j = 2; j <= maxnum; j++)//只能求f(n,n)
//通過修改這裡，使得可以求f(n,m)，對於任意的正整數n,m都適合
for(j = 1; j <= m; j++)
//多項式相乘:c = a * b
poly();
//將結果c儲存到a中
memcpy(a, c, sizeof(c));
}}int main(int argc, char **argv)
init(m);
printf("母函式法");
printf("整數劃分(%d)方法數目為%ld\n",n,c[n]);
return 0;
}
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