Dijkstra演算法（單源最短路徑）

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dijkstra演算法（單源最短路徑）

單源最短路徑問題，即在圖中求出給定頂點到其它任一頂點的最短路徑。在弄清楚如何求算單源最短路徑問題之前，必須弄清楚最短路徑的最優子結構性質。

一.最短路徑的最優子結構性質

該性質描述為：如果p(i,j)=是從頂點i到j的最短路徑，k和s是這條路徑上的乙個中間頂點，那麼p(k,s)必定是從k到s的最短路徑。下面證明該性質的正確性。

假設p(i,j)=是從頂點i到j的最短路徑，則有p(i,j)=p(i,k)+p(k,s)+p(s,j)。而p(k,s)不是從k到s的最短距離，那麼必定存在另一條從k到s的最短路徑p'(k,s)，那麼p'(i,j)=p(i,k)+p'(k,s)+p(s,j)二.dijkstra演算法

由上述性質可知，如果存在一條從i到j的最短路徑(vi.....vk,vj)，vk是vj前面的一頂點。那麼(vi...vk)也必定是從i到k的最短路徑。為了求出最短路徑，dijkstra就提出了以最短路徑長度遞增，逐次生成最短路徑的演算法。譬如對於源頂點v0，首先選擇其直接相鄰的頂點中長度最短的頂點vi，那麼當前已知可得從v0到達vj頂點的最短距離dist[j]=min。根據這種思路，

假設存在g=，源頂點為v0，u=,dist[i]記錄v0到i的最短距離，path[i]記錄從v0到i路徑上的i前面的乙個頂點。

1.從v-u中選擇使dist[i]值最小的頂點i，將i加入到u中；

2.更新與i直接相鄰頂點的dist值。(dist[j]=min)

3.知道u=v，停止。

**實現:

#include#include#include#include#define m 100

#define n 100
#define int_max 10000
using namespace std;
typedef struct node
mgraph;
void dijkstrapath(mgraph g, int *dist, int *path, int v0)//v0表示源頂點
else
visited[i] = false;
path[v0] = v0;
dist[v0] = 0;
} visited[v0] = true; //v0設為已經訪問
for(int i=1; i0 && min+g.matrix[u][k]s;
int u = v;
while(v!=v0)
s.push(v);
while(!s.empty()) }
int main()
{ int n,e;
while(scanf("%d%d",&n,&e) && e!=0)
{ mgraph g;
int v0;
int *dist = new int[n];
int *path = new int[n];
for(int i=0; i
測試資料：
執行結果：
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