素數演算法的優化之路

一、素數的定義

質數又稱素數。指在乙個大於1的自然數中，除了1和此整數自身外，不能被其他自然數(不包括0)整除的數。因為合數是由若干個質數相乘而得來的，所以，沒有質數就沒有合數，由此可見質數在數論中有著很重要的地位。

比如：2，3，5，7，9.....都是素數。

二、構造素數演算法

寫演算法之前，先來說說以下這個東西：

對於任意乙個合數n，如果它有兩個質因子x，y，顯然n = x*y，

所以，由不等式性質可得，x <= sqrt(n)，即 x <= n^(1/2)。

推廣一下，對於任意乙個合數，如果它有k個質因子x1，x2，x3，.... ，xk，顯然n = x1 * x2 * x3 * .... * xk，

所以，由不等式性質可得， x <= n^(1/k)，即每個質因子必小於或者等於n開k次方，其中x 屬於集合。

定義乙個全域性變數和乙個全域性陣列，要是陣列是分配在棧上的話，是有容量限制的，所以我們就定義個全域性的。

const unsigned int n = 50000;

bool flag[n+1];

1、演算法一：按照定義，即可快速寫出乙個簡單的構造素數演算法

void primecreatecommon()//按照定義
} //if ( flag )
//} cout << endl;
}

分析：該演算法的時間複雜度為o（n*sqrt(n) )，在n比較大時（比如n = 50000），我的機器跑了個二十來秒，就也叫演算法，呵呵，所以接下來我們來看另一種演算法，那就是

古希臘數學家的埃拉託色尼給出的乙個比較省力的演算法------埃拉託色尼篩法。

2、演算法二：篩選法

首先，列出從2開始的數。然後，將2記在素數列表上，再劃去所有2的倍數。根據定義，剩下的最小的數——在這裡是3——必定是素數。將這個數記在素數列表上，再劃去所有它的倍數，這樣又會剩下一些數，取其中最小的，如此反覆操作。最後剩下的都是素數。

void primecreateext()//篩選法優化
} }// for ( int i = 2; i <= n; ++i )
// 
// }
// cout << endl;
}

三、兩種演算法的執行時間對比

//測試函式
int main()

//產生50萬以內的素數執行時間對比

四、空間上的優化

略