素數又叫質數(prime number)，有無限個,只能能被1和自身整除的自然數.
由於這句話，在我們求給定範圍n以內的素數的時候，我們通常採用的是下面這種演算法:
#include
intmain(void)
}if (flag)
printf("%d\n", i);
}return (0);
}
什麼意思呢?
舉例來說:
當n = 10的時
我們要遍歷的數字是:
3 4 5 6 7 8 9 10
遍歷時,
每個數字都會都2進行整除運算.
3 % 2, 4 % 2, 5 % 2, 6 % 2, 7 % 2, 8 % 2, 9 % 2, 10 % 2.
反向思維一下,如果我們發現乙個數字是2的倍數,那麼這個數字就能夠被2整除,那麼他肯定就不是素數.
以此類推
每次重複的操作還有對3, 4, 5, 6 …. n-1;
因此可以肯定的是,如果乙個數是莫個數的倍數,這個數就可以肯定不是素數了.
數學上有如下的算數定理:
乙個自然數,要麼本身是乙個質數，要麼可以寫成一系列質數的乘積.
由此可知,是質數乘積的數肯定不是質數.
在此基礎上,古希臘數學家埃拉託斯特尼所提出了一種快速檢定素數的演算法:(也就是我們上面描述的內容)
要得到自然數n以內的全部素數，必須把不大於根號n 的所有素數的倍數剔除，剩下的就是素數。
簡單描述一下,求10以內的素數:
2 3 4 5 6 7 8 9 10
劃掉2的倍數(2是素數) :剩下的還有
2 3 5 7 9
劃掉3的倍數
2 3 5 7
劃掉5的倍數,由於根號10 是小於5的,所以不用劃5的倍數;
最終輸出結果
2 3 5 7;
由此我們得到如下演算法:
#include
#include
#define maxsize 1000001
/* *採用eratosthenes篩法, 給定範圍n以內的素,
*劃掉根號n以內的素數的倍數的數, 剩下的都是素數.
*prime陣列儲存求得的素數
*如果為0,則是素數, 反之則不是
*被劃掉的數字我們用1表示.
*/char prime[maxsize];
void
initprime()
intmain(void)
return(0);
}
但是通過看下面這張我們可以看出,其實j不用從2的倍數開始,因為2 * i已經在劃掉2的倍數的時候被劃掉了,同理3*i也已經在3的倍數裡面被劃掉了,
也就是說直到i * i ,之前所有比i小的倍數都已經被比 i小的素數的倍數 劃掉了(表達得不是很清楚 -.- ,看了應該好懂一些 ).請看下圖:
i表示素數,j表示素數的倍數的位置,紅色方框表示我們內層迴圈j( i * i) 開始的位置.
從圖中我們可以看出,
比i的小的倍數都在遍歷之前被劃掉了.
比如當i = 5的時候,
5* 2(遍歷素數2的倍數的時候),
5 * 3(遍歷素數3的倍數的時候),
5 * 4(這個不是素數,我們稍後討論),
都已經被劃掉了,所以不用再重複劃掉了.
由此我們可以看出,j從i*i開始是合理的,而且隨著i的增加,我們所需要遍歷的比i小的倍數會逐漸增加,採用從i*i開始遍歷,又進一步縮減了我們遍歷的時間.
細心的同學可能已經看到,從i*i的倍數往下遍歷的時候,有很位置我們也是已經劃過了,
比如:
在5*6的位置,
又因為5 * 6 = 3 * 10 = 3 * 2 * 5 = 30的位置,也就是2 * 3 * 5;
就是說在我們遍歷2*15時,30我們劃掉過一次.
在遍歷3 * 10的時候,30的位置又被我們劃掉過一次.
那麼從i*i開始以後的那個位置是肯定不會被前面的素數的倍數劃掉的呢?
先從3開始看:
3 * 4, 4肯定會被劃掉(因為2 * 2)
3 * 5不會被劃掉.
3 * 6被劃掉.
3 * 7不會.
3 * 8被劃掉.
3 * 9被劃掉.
也就是前面沒有出現過的素數的倍數,肯定不會被劃掉,因此在遍歷的時候,我們在尋找素數倍數的時候,只需要尋找素數的素數倍數,但是這裡會出現乙個問題,因為我們本身就是在查詢素數,那麼我們怎麼知道乙個素數的倍數呢?
因為所有2的倍數肯定不是奇數,所以我們不用儲存奇數字,我們假設我們陣列裡面儲存的全部都是奇數,
數論演算法總結 素數
1.如果給定乙個數n,要你計算小於n的素數的個數，如果n足夠大，那麼 素數的個數等價於x ln x 如下 include include includeusing namespace std 這是判斷素數個數的位數 void pr int n cout static cast log10 k log...
素數判定總結
1.對於百萬級別，判斷單個數是否為素數，用埃拉託斯尼斯篩法打乙個判斷是否為素數的表預處理一下。const int n 2000000 bool isprime n void doprime bool solve int64 l,int64 r,int64 a,int64 b,int64 c,int6...
素數篩選 總結
第一種 直接暴力，在這就不說了 第二種 埃氏篩法 能處理1e6以下的資料 首先，將2到n範圍內的所有整數寫下來。其中最小的素數為2，將表中所有2的倍數都劃去。表中剩餘的最小數字是3，不能被更小的數整除，所以也是素數，將表中所有3的倍數也劃去。依此類推，如果表中剩餘的最小數字為m時，m就是素數，再將m...