卡特蘭數又稱卡塔蘭數，英文名catalan number，是組合數學中乙個常出現在各種計數問題中出現的數列。由以比利時的數學家歐仁•查理•卡塔蘭 (1814–1894)命名
原理 令h(0)=1,h(1)=1，catalan數滿足遞推式[1] ：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)h(0) (n>=2)
例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
另類遞推式[2] ：
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
遞推關係的解為：
h(n)=c(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,…)
遞推關係的另類解為：
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,…)
應用 應用大都可以轉化為2n個包含01的序列要求任意字首中0的個數都大於等於1的個數
1、括號化（左括號為0右括號為1）
矩陣連乘： p=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？(h(n-1)種)
2、出棧次序
乙個棧(無窮大)的進棧序列為1，2，3，…，n，有多少個不同的出棧序列?[
類似：有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)
類似：一位大城市的律師在他住所以北n個街區和以東n個街區處工作，每天她走2n個街區去上班。如果他從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那麼有多少條可能的道路？
在《計算機程式設計藝術》，第三版，donald e.knuth著，蘇運霖譯，第一卷，508頁，給出了證明:
問題大意是用s表示入棧，x表示出棧，那麼合法的序列有多少個(s的個數為n)
顯然有c(2n, n)個含s，x各n個的序列，剩下的是計算不允許的序列數(它包含正確個數的s和x，但是違背其它條件)。
在任何不允許的序列中，定出使得x的個數超過s的個數的第乙個x的位置。然後在導致幷包括這個x的部分序列中，以s代替所有的x並以x代表所有的s。結果是乙個有(n+1)個s和(n-1)個x的序列。反過來，對以後每種型別的每個序列，我們都能逆轉這個過程，而且找出導致它的前一種型別的不允許序列。例如xxsxsssxxsss必然來自ssxs***xxsss。這個對應說明，不允許的序列的個數是c(2n, n-1)，因此an = c(2n, n) - c(2n, n-1)。
3、將多邊行劃分為三角形問題
將乙個凸多邊形區域分成三角形區域(劃分線不交叉)的方法數?
類似：在圓上選擇2n個點,將這些點成對連線起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?
4、給定節點組成二叉樹問題。
給定n個節點，能構成多少種形狀不同的二叉樹？
(一定是二叉樹！先取乙個點作為頂點，然後左邊依次可以取0至n-1個相對應的，右邊是n-1到0個，兩兩配對相乘，就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + …… + h(n-1)h(0)=h(n)) （能構成h（n）個）
計算
long
long h[40];//n<=35時的catalan數
h[0] = h[1] = 1;
for (int i = 2; i < 40; i++)
}
//根據應用2擴充套件不能穿越對角線通過dp可以推出h(n)
for (int i = 1; i <= n; i++) f[0][i] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
#include//大數catalan數
#include
#include
#include
#include
#include
using
namespace
std;
const
int maxn = 1005;
const
int cnt = 1e4;
int cal[102][maxn];
int len[maxn];
/*這兩個乘除演算法可以通用，不過在使用時
要注意cnt不能太大否則很容易溢位*/
void multy(int *ans, int b, int &len)
while (r)
}void divid(int *ans, int b, int &len)
while (!ans[len-1])
}int main()
while(cin >> n && n)
return
0;}
賦值運算子與普通運算的不同之處
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int 16位 32768 32767 注 現在大多數的編譯器的int型是32位的 也就是說跟long型的大小一樣 long long或 int64 64位 9223372036854775808 9223372036854775807 float 32位 精確到小數點後6 7位 double 64...
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