1.「樹狀陣列」資料結構的一種應用
對含有n個元素的陣列(a[1],...,a[k],...,a[n])：
(1)求出第i個到第j個元素的和，sum=a[i]+...+a[j]。
進行j-i+1次加法，複雜度為o(j-i+1)
(2)任意修改其中某個元素的值。
使用陣列下標可以直接定位修改，時間複雜度為o(1)
對於同時支援上述兩種操作的系統中，求和操作(1)求任意連續個陣列元素和的平均時間複雜度為o(n)，修改操作(2)時間複雜度是o(1)。如果系統中大量進行上述兩種操作m次，其中執行操作(1)概率1/p，操作(2)概率1-1/p，則系統時間複雜度為：
可以使用樹狀陣列使得上述兩種操作的時間複雜度為o(m*logn)。
2.樹狀陣列介紹
核心思想：
(1)樹狀陣列中的每個元素是原陣列中乙個或者多個連續元素的和。
(2)在進行連續求和操作a[1]+...+a[n]時，只需要將樹狀陣列中某幾個元素的和即可。時間複雜度為o(lgn)
(3)在進行修改某個元素a[i]時，只需要修改樹狀陣列中某幾個元素的和即可。時間複雜度為o(lgn)
下圖就是乙個樹狀陣列的示意圖：
解釋如下：
1) a:儲存原始資料的陣列。(操作(1)求其中連續多個數的和，操作(2)任意修改其中乙個元素)
e:樹狀陣列，其中的任意乙個元素e[i]可能是乙個或者多個a陣列中元素的和。如e[2]=a[1]+a[2]; e[3]=a[3]; e[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]。
2） e[i]是幾個a陣列中的元素的和？
如果數字 i 的二進位制表示中末尾有k個連續的0，則e[i]是a陣列中2^k個元素的和，則e[i]=a[i-2^k+1]+a[i-2^k+2]+...+a[i-1]+a[i]。
如：4=100(2) e[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];
6=110(2) e[6]=a[5]+a[6]
7=111(2) e[7]=a[7]
3)後繼：可以理解為節點的父親節點。是
離它最近的，且編號末位連續0比它多的就是它的父親,如e[2]是e[1]的後繼；e[4]是e[2]的後繼。
如e[4] = e[2]+e[3]+a[4]= a[1]+a[2]+a[3]+a[4] ，e[2]、e[3]的後繼就是e[4]。
後繼主要是用來計算e陣列，將當前已經計算出的e[i]新增到他們後繼中。
前驅：節點前驅的編號即為比自己小的，最近的，最末連續0比自己多的節點。如e[7]的前驅是e[6],e[6]的前驅是e[4]。
前驅主要是在計算連續和時，避免重複新增元素。
如：sum(7)=a[1]+...+a[7]=e[7]+e[6]+e[4]。(e[7]的前驅是e[6], e[6]的前驅是e[4])
計算前驅與後繼：
lowbit(i) = ( (i-1) ^ i) & i ;
節點e[i]的前驅為 e[ i - lowbit(i) ]；
節點e[i]的後繼為 e[ i + lowbit(i) ]
3.樹狀陣列**示例
1 #include 2 #include 34using
namespace
std;56
int input(int*,int*,int); ///
輸入資料
7int calstagesum(int*,int); ///
計算樹狀陣列
8int getsum(int*,int); ///
求出前n個數字的和
9int updataelement(int*,int*,int,int,int); ///
更新某一位置上的元素
1011
intmain ()
3637
int input(int* num,int *sum,int
n)42
return0;
43}4445
int calstagesum(int *sum,int
n)54}55
return0;
56}5758
int getsum(int* sum,int
n)66
return
sumpren;67}
6869
int updataelement(int* sum,int *num,int n,int pos,int
newvalue)
81else
82break;83
}84return0;
85 }
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