約瑟夫環問題

2021-07-05 05:52:00 字數 2722 閱讀 3826

約瑟夫環問題的原來描述為,設有編號為1,2,……,n的n(n>0)個人圍成乙個圈,從第1個人開始報數,報到m時停止報數,報m的人出圈,再從他的下乙個人起重新報數,報到m時停止報數,報m的出圈,……,如此下去,直到所有人全部出圈為止。當任意給定n和m後,設計演算法求n個人出圈的次序。  稍微簡化一下。

問題描述:n個人(編號0~(n-1)),從0開始報數,報到(m-1)的退出,剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。 

思路:容易想到的就是用環鏈表來做,構建乙個環鏈表,每個結點的編號為0, 1, ...... n-1。每次從當前位置向前移動m-1步,然後刪除這個結點。最後剩下的結點就是勝利者。給出兩種方法實現,一種是自定義鍊錶操作,另一種用是stl庫的單鏈表。不難發現,用stl庫可以提高編寫速度。

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struct

listnode  

};  

//自定義鍊錶實現

intjosephusproblem_solution1(

intn, 

intm)  

pcurrentnode->next = phead;  

//迴圈遍歷

plastnode = pcurrentnode;  

pcurrentnode = phead;  

while

(pcurrentnode->next != pcurrentnode)  

//刪除報到m - 1的數

plastnode->next = pcurrentnode->next;  

delete

pcurrentnode;  

pcurrentnode = plastnode->next;  

}  //釋放空間

intresult = pcurrentnode->num;  

delete

pcurrentnode;  

return

result;  

}  

[cpp]view plain

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//使用標準庫

intjosephusproblem_solution2(

intn, 

intm)  

//臨時儲存刪除的結點

list>::iterator iterdel = itercurrent;  

if(++itercurrent == listint.end())  

itercurrent = listint.begin();  

//刪除結點

listint.erase(iterdel);  

}  return

*itercurrent;  

}  

上述方法的效率很低,其時間複雜度為o(mn)。當n和m很大時,很難在短時間內得出結果。不過好處就是可以給出n個人出圈的次序。只要在刪除前儲存一下即可。

下面利用數學推導,如果能得出乙個通式,就可以利用遞迴、迴圈等手段解決。下面給出推導的過程:

(1)第乙個被刪除的數為 (m - 1) % n。

(2)假設第二輪的開始數字為k,那麼這n - 1個數構成的約瑟夫環為k, k + 1, k + 2, k +3, .....,k - 3, k - 2。做乙個簡單的對映。

k         ----->  0 

k+1    ------> 1 

k+2    ------> 2 

... 

... 

k-2    ------>  n-2 

這是乙個n -1個人的問題,如果能從n - 1個人問題的解推出 n 個人問題的解,從而得到乙個遞推公式,那麼問題就解決了。假如我們已經知道了n -1個人時,最後勝利者的編號為x,利用對映關係逆推,就可以得出n個人時,勝利者的編號為 (x + k) % n。其中k等於m % n。代入(x + k) % n  <=>  (x + (m % n))%n <=> (x%n + (m%n)%n)%n <=> (x%n+m%n)%n <=> (x+m)%n

(3)第二個被刪除的數為(m - 1) % (n - 1)。

(4)假設第三輪的開始數字為o,那麼這n - 2個數構成的約瑟夫環為o, o + 1, o + 2,......o - 3, o - 2.。繼續做對映。

o         ----->  0 

o+1    ------> 1 

o+2    ------> 2 

... 

... 

o-2     ------>  n-3 

這是乙個n - 2個人的問題。假設最後的勝利者為y,那麼n -1個人時,勝利者為 (y + o) % (n -1 ),其中o等於m % (n -1 )。代入可得 (y+m) % (n-1)

要得到n - 1個人問題的解,只需得到n - 2個人問題的解,倒推下去。只有乙個人時,勝利者就是編號0。下面給出遞推式:

f [1] = 0; 

f [ i ] = ( f [i -1] + m) % i; (i>1) 

有了遞推公式,實現就非常簡單了,給出迴圈的兩種實現方式。再次表明用標準庫的便捷性。

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intjosephusproblem_solution4(

intn, 

intm)    

約瑟夫問題 約瑟夫環

約瑟夫 問題 有時也稱為約瑟夫斯置換,是乙個出現在電腦科學和數學中的問題。在計算機程式設計的演算法中,類似問題又稱為約瑟夫環。又稱 丟手絹問題 據說著名猶太歷史學家 josephus有過以下的故事 在羅馬人占領喬塔帕特後,39 個猶太人與josephus及他的朋友躲到乙個洞中,39個猶太人決定寧願死...

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約瑟夫環問題 問題描述 編號是1,2,n的n個人按照順時針方向圍坐一圈,每個人持有乙個密碼 正整數 一開始任選乙個正整數作為報數上限值m,從第乙個人開始順時針方向自1開始順序報數,報到m時停止報數。報m的人出列,將他的密碼作為新的m值,從他在順時針方向的下乙個人開始重新從1報數,如此下去,直到所有人...