差分約束系統定義（引自維基百科）：如果乙個系統由n個變數和m個約束條件組成，其中每個約束條件形如xj-xi<=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),則稱其為差分約束系統(system of difference constraints)。亦即，差分約束系統是求解關於一組變數的特殊不等式組的方法。
例如，有如下不等式組：
我們可以把它寫成如下矩陣的形式：
定義左邊的矩陣為a，中間的列向量為 x, 右邊的列向量為k。
我們觀察一下a可以發現它和我們在離散數學中講圖的時候講了乙個關聯矩陣很像。
矩陣a的特點是每行只有乙個1和乙個-1，其餘列都是0。
而關聯矩陣的特點是每列只有乙個1和乙個-1，其餘行為0.
即a的轉置矩陣就是乙個關聯矩陣。
那麼我們想想，是否可以通過求解圖的最短路徑來求得不等式組的乙個可行解呢？
結論是可以的。
對於每乙個差分約束系統，我們根據矩陣a來建立圖g（v， e），而g的關聯矩陣就是a的轉置矩陣，邊權存在二維陣列w中。假設我們現在要求單源最短路，將各個定點的最短距離存到對應的dis[v]中。最後我們要得到的結果一定滿足： dis[v] <= dis[u] + w[u][v]. 變形一下得到： dis[v] - dis[u] <= w[u][v]. 另dis[v] 為 xv， dis[u]為xu，有xv - xu <= w[u][v]. 可以看到當前單源最短路問題與差分約束系統問題的等價性。
故可以通過求解單源最短路來求解差分約束問題。當圖中存在負環的時候，不等式組無解，否則有解，並且xi的解為dis[i]。若dis[i] = inf，則xi的值為任意值。
hdu1531是一道入門題。
題意：給定未知數的個數n，同時給出m個約束條件， 均以（asi + asi+1 + ... + asi+n） < k 或者 （asi + asi+1 + ... + asi+n） > k形式出現。問是否存在可行解。
定義一下sigma(n) = a1 + a2 + a3 + ... + an.
則 ai + ... + aj = sigma(j) - sigma(i-1).這樣就可以求解了。
**：
#include#include#includeusing namespace std;
const int n = 128;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int n, m, cnt;
struct edge ;
int fir[n];
edge edge[n];
int vis[n], dis[n];
int outque[n];
void init()
void addedge(int u, int v, int w)
bool spfa(int s) }}
}return true;
}int main()
for(int i = 1; i <= n; i++)
if(spfa(n+1))
printf("lamentable kingdom\n");
else printf("successful conspiracy\n");
}return 0;
}
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