自由電子滿足的動力學方程為 mr
¨=ee
0ei(
k⋅r−
ωt)
因為電子的運動速度遠小於光速，所以kr
ωt=v
c≪1 ，所以忽略k⋅
r 項，方程簡化為 mr
¨=ee
0e−i
ωt方程的通解是 r=
−ee0
mω2e
−iωt
+v0t
+r0
可以看成是勻速運動和簡諧振盪的疊加，這個簡諧振盪是由強迫振動引起的輻射，它就是散射波。
諧振動的電子相當於乙個振盪的偶極子，偶極矩為 p=
p0e−
iωt=
−e2e
0mω2
e−iω
t 按照偶極輻射的輻射功率 dp
dω=ω
4μ032
π2cp
20sin2θ=
ω4μ0
32π2c
(e2e
0mω2
)2sin2θ=
μ0e4
e2032
π2m2
csin2θ
=e4e
2032π
2ε0m
2c3sin2θ
其中θ 是散射方向和
e 的夾角。實際上我們關注的是散射方向（觀測方向）和電磁波傳播方向（入射方向）的夾角。
如圖，散射方向
n （取在xo
z 平面上）和電場
e 方向的夾角為
θ ，我們將它轉化為電場和
x 軸的夾角
φ以及散射方向和
z 軸的夾角α.
ecosθ=
e⋅n=
exnx
=ecosφ
sinα
所以 sin2θ=
1−cos2
φsin2α
所以 dp
dω=e
4e20
32π2ε
0m2c
3sin2θ
=e4e
2032π
2ε0m
2c3(
1−cos2
φsin2α
) 由於φ
是隨機的，對
φ 取平均，得到
⟨sin2θ
⟩=12
π∫2π
0(1−
cos2
φsin2α
)dφ=
1+cos2α2
所以 ⟨d
pdω⟩
=e4e
2064π
2ε0m
2c3(
1+cos2α)
在各個方向上強度只相差最多1倍。
總功率 p=
e4e2
012πε
0m2c
3 引入散射截面
σ ， p=
σs因為s=
12ε0
e20c
所以 σ=
e46π
ε20m
2c4
這個過程稱為湯姆孫散射，因而介面也稱為湯姆孫截面，記為σt
。它有兩個特徵
散射波的頻率和入射波相同；
散射波的強度和頻率無關。
動力學方程 mr
¨+mω
20r−
mτr...=e
e0e−
iωt
這是強迫振動方程，通解是頻率為ω0
的本徵振動和頻率為
ω 的強迫振動的疊加。本徵振動將被阻尼掉，只考慮強迫振動引起散射。
強迫振動解 r=
ee0m
1(ω2
0−ω2
)2+ω
2γ2−
−−−−
−−−−
−−−−
−−√e
−i(ω
t+δ)
其中γ=
τω20
≪ω0,
相位差δ 滿足
tanδ=ω
γω2−
ω20
振子具有乙個振盪的偶極矩 p=
e2e0
me−i
δ(ω2
0−ω2
)2+ω
2γ2−
−−−−
−−−−
−−−−
−−√e
−i(ω
t+δ)
它引起偶極輻射，產生散射波。
把輻射功率寫成 p=
σs其中
s 表示入射波的能流密度，
σ是振子對電磁波的散射截面。 σ=
σtω4
(ω20
−ω2)
2+ω2
γ2其中σt
是自由電子的湯姆孫散射截面，與頻率無關。σ(
ω)的影象
當低頻，即ω≪
ω0時，有 σ=
σtω4
ω40
即散射截面和頻率的四次方成正比，這是瑞利散射公式。當ω
≈ω0
ω=ω0
處散射最強。
電磁波在介質中傳播，方程 ∇2
e−1c
2εε0
∂2e∂
t2=0
把解寫成沿
z 方向行進的平面波 e=
e0ei
(kz−
ωt)k
=1cn
ωn=ε
ε0−−
−√(復
數)由於n
是複數，所以k,
ω中至少有1個是複數。對於穩定傳播的波，可以令
ω 是實數，那麼
k 就是複數，設k=
k0+i
τ， e=
e0e−
τzei
(k0z
−ωt)
波幅隨空間有衰減，衰減長度是虛部
τ 的倒數。
設複折射率 n=
n0+i
n1則 ⎧⎩
⎨⎪⎪⎪
⎪k0=
1cn0
ωτ=1
cn1ω
由n=n0+i
n1=ε
ε0−−
−√ 把
ε 的表示式代入，得 ⎧⎩
⎨⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪n
20−n
21=1
+ne2
mε0ω
20−ω
2(ω2
0−ω2
)2+ω
2γ22
n0n1
=ne2
mε0ω
γ(ω2
0−ω2
)2+ω
2γ2
可以根據上式確定n0
(ω),
n1(ω
) 。電磁波波幅的衰減反映了介質對電磁波的吸收，在導體中，吸收的能量轉化成焦耳熱，在介質中則是輻射掉了。
τ 越大，吸收越強。介質的吸收具有明顯的共振特性。
波的相速度 v=
ωk0=
cn0
取決於折射率的實部n0
，從而取決於頻率
ω .當波包由不同頻率的單色波疊加組成時，不同頻率的波相速度不同，波包發生瀰散，即色散。
電磁波在介面的折射也和n0
有關，從而和
ω 有關，也會發生散射。
把相速度隨著頻率增加而減小稱為正常色散，反之稱為反常色散。通常在固有頻率周圍是正常色散，在波頻吸收區是反常色散。
電磁波簡介
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