求陣列的子陣列之和的最大值

乙個有n個整數元素的一維陣列( a[0], a[1], ... , a[n-2], a[n-1])，子陣列之和的最大值是什麼?(要求子陣列的元素是連續的)

例子：有陣列( -2, 5, 3, -6, 4, -8, 6)，則其子陣列之和的最大值為8，其對應的陣列為(5,3)

解法一：

採用直接法

，記sum[i...j]，為陣列a中從第i到第j之間所有數之和，算出所有sum，取其最大，**如下，時間複雜度o(n2)：

int maxsum1(int *a, int n)
}return max;
}

解法二：使用分治法，陣列(a[0],a[1],...a(n-1)分為長度相等的兩段陣列(a[0],...,a[n/2-1])以及(a[n/2],...,a[n-1])，分別求出這兩段陣列各自的最大子段和，則原陣列(a[0],a[1],...a(n-1)的最大子段和分為3種情況

1).(a[0],a[1],...a(n-1)的最大子段和與(a[0],...,a[n/2-1])的相同

2).(a[0],a[1],...a(n-1)的最大子段和與(a[n/2],...,a[n-1])的相同

3).(a[0],a[1],...a(n-1)的最大子段和跨過(a[0],...,a[n/2-1])與(a[n/2],...,a[n-1])-

1)和2)可以根據遞迴可得，3)只要計算出以a[n/2-1]為結尾的一段陣列最大和s1=sum1[i...n/2-1]和a[n/2]為開頭一段陣列最大和s2=sum2[n/2...j]，最後s=s1+s2.

這個演算法滿足分值演算法遞迴，總的時間複雜度o(n*log2n)

解法三：

假設我們已經知道(a[k].....a[n-1])最大的一段陣列和為all[k]，並且已經計算出在(a[k].....a[n-1])中包含a[k]的最大的一段陣列和為start[k]，那麼可以推斷出all[k-1]=max，利用

動態規劃思想

以及這樣的遞推公式，從後往前計算，**如下,時間複雜度o(n)：

int max(int x, int y)
int maxsum2(int *a, int n)
return all[0]; 
}

對以上**進行簡化，因為最後所求到的變數只有start[0]和all[0]，這樣可以反覆用nstart和nall，省略掉其他的變數，**如下

int max(int x, int y)
int maxsum2_v(int *a, int n)
return nall; 
}