棋盤覆蓋問題題解

【問題描述】

在乙個 2^k * 2^k 個方格組成的棋盤中，若恰有乙個方格與其它方格不同，則稱該方格為一特殊方格，稱該棋盤為一特殊棋盤。顯然特殊方格在棋盤上出現的位置有 4^k 種情形。因而對任何 k>=0 ，有 4^k 種不同的特殊棋盤。下圖所示的特殊棋盤為 k=2 時 16 個特殊棋盤中的乙個。

在棋盤覆蓋問題中，要用下圖中 4 中不同形態的 l 型骨牌覆蓋乙個給定的特殊棋牌上除特殊方格以外的所有方格，且任何 2 個 l 型骨牌不得重疊覆蓋。易知，在任何乙個 2^k * 2^k 的棋盤中，用到的 l 型骨牌個數恰為 (4^k-1)/3 。現給出棋盤的大小和特殊方格所在的位置，請找出這種棋盤。

初看時感覺這題目很難，我們可以利用分治的思想，像圖一一樣，將乙個大棋盤不斷分成四個部分，直至每個部分只包含乙個方格，那麼遞迴的邊界就出來了。然後對於每乙個部分，我們需要找到特殊方格，就需要檢視這個特殊方格是否在我們現在找的這個範圍，如果在，就繼續找，不在，就將其對稱的部分用l型牌覆蓋，然後找該編號的l型牌覆蓋的區域。詳見**。

1
vartile,size,k,i,x,y,j:longint;
2 a:array[-1..100,-1..100] of
longint;
3procedure
try(tr,tc,dr,dc,size:longint);
4var
s,t:longint;
5begin
6if size=1
then
7exit;
8 t:=tile;//l型牌的編號
9inc(tile);
10 s:=size div2;
11if (drand(dcthen//查詢是否在左上角，在，繼續找
12try(tr,tc,dr,dc,s)
13else//不在，將右下角用l型牌覆蓋，找該l型牌
14begin
15 a[tr+s-1,tc+s-1]:=t;
16 try(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1
,s);
17end;18
if (drand(dc>=tc+s) then//查詢是否在右上角
19 try(tr,tc+s,dr,dc,s)
20else//不在將左下角用l型牌覆蓋
21begin
22 a[tr+s-1,tc+s]:=t;
23 try(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);
24end;25
if (dr>=tr+s)and(dcthen//查詢是否在左下角
26 try(tr+s,tc,dr,dc,s)
27else//不在將右上角用l型牌覆蓋
28begin
29 a[tr+s,tc+s-1]:=t;
30 try(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1
,s);
31end;32
if (dr>=tr+s)and(dc>=tc+s) then//查詢是否在右下角
33 try(tr+s,tc+s,dr,dc,s)
34else//不在將左上角用l型牌覆蓋
35begin
36 a[tr+s,tc+s]:=t;
37 try(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);
38end;39
end;
40begin
41readln(size);
42readln(x,y);
43 tile:=1
;44 try(0,0
,x,y,size);
45for i:=0
to size-1
do46
begin
47for j:=0
to size-1
do48 write(a[i,j]:3,'');
49writeln;
50end;51
end.

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