三角函式的基本形式是
f(x) = asin(nx+θ)
a:振幅
n:頻率
θ:相位
x也可以用wt來表示
函式的正交：兩個函式的積的積分為0,那麼這兩個函式為正交關係
1.當n!=m時,cosnx與cosmx正交,sinnx與cosmx正交, sinnx與sinmx正交
2.當n=m時,cosnx與cosmx不正交,sinnx與cosmx正交, sinnx與sinmx不正交
即sinnx,cosnx都與自身不成正交
相互正交的函式可以組合出不同的函式
當sin函式和cos函式隨機組合相加時
例如f(x)=asinnx+bcosmx
a和b決定了f(x)的振幅和相位
n和m決定了f(x)波形和頻率 為 2π
(2π/
n)和(
2π/m
)的最小
公倍數
通過cos sin函式的相加可以組合出不同的相位和幅度 類似於向量 的運算
如 sinx+cosx = 2√
sin(
x+45°
) 相比之下用sin(x+θ)表示就複雜許多 不利於分解
傅利葉解析就是求原波是由哪些頻率和振幅的波組合而成
首先來看公式
意思就是原波形可以由若干個sin或者cos函式合成
也可以是全部都是sin也可以全部是cos cos和sin的數目不一定相等
a0,a1,b0,b1….稱為傅利葉係數
那麼如何分解出波呢?
1.首先要取出原波最小週期的部分進行分析
2.然後過濾 分解出各類的波的振幅 應該這麼做:
由於sinnx,cosnx都與自身不成正交 也就是積的積分值為0 那麼f(x)乘以cosnx的積分結果就剩下ancosnx*cosnx的積分值
由於cosnx*cosnx的積分結果是π所以可以求出an
bn同理
至於a0是因為原來的波抵消了大部分的波峰和波谷還剩下一些面積
填平後就是右下圖黑色部分了
此外也可以把cos0像之前一樣與f(x)相乘求積分 由於得到的結果是2πa 還要除以2
3.分解出頻率
根據an,bn求出rn的大小 然後按照n的從小到大順序排列,得到頻率譜
來看個例題
這應該也算是該公式的推導吧
題外話:
1.sin(x)+0.5*sin(2*x)+(1/3)*sin(3*x)+(1/4)*sin(4*x)+(1/5)*sin(5*x)+(1/6)*sin(6*x)+(1/7)*sin(7*x)+(1/8)*sin(8*x)+(1/9)*sin(9*x)+(1/10)*sin(10*x)+(1/11)*sin(11*x)+(1/12)*sin(12*x)+(1/13)*sin(13*x)
2.sin(x)+(1/3)*sin(3*x)+(1/5)*sin(5*x)+(1/7)*sin(7*x)
以上部分截圖來自《漫畫傅利葉解析》
傅利葉級數
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