1、 考慮到乙個函式可以展開成乙個多項式的和，可惜多項式並不能直觀的表示週期函式，由於正余弦函式是週期函式，可以考慮任意乙個週期函式能否表示成為一系列正余弦函式的和。假設可以，不失一般性，於是得到： f(
t)=a
0+∑n
=1∞a
nsin
(nωt
)+φn
, 2、 將後面的正弦函式展開： an
sin(
nωt+
φn)=
ansi
nφnc
osnω
t+an
cosφ
nsin
nωt,
令 a0
2=a0
,an=
ansi
nφn,
bn=a
ncos
φn,ω
t=x
於是得到： a0
2+∑n
=1∞(
anco
snx+
bnsi
nnx)
. 那麼如何計算an,bn,a0這些引數成為能否展開成為正余弦函式的關鍵。∫π
−πco
snxd
x=0(
n=1,
2,3,
…),
∫π−πsin
nxdx
=0(n
=1,2
,3,…
),
∫π−π
sink
xcos
nxdx
=0(n
=1,2
,3,…
),
∫π−π
cosk
xcos
nxdx
=0(n
=1,2
,3,…
,k≠n
),
∫π−π
sink
xsin
nxdx
=0(n
=1,2
,3,…
,k≠n
),
上面的這些積分為0被稱之為正余弦函式的正交性。這些證明很簡單，可惜當初學習正余弦函式的時候可能遇到過，但是卻不知道這些東西能幹什麼用。下面的處理手段凸顯了大師的風範：
如果我們對原函式進行如下積分，得到很神奇的東西： ∫π
−πf(
x)dx
=∫π−
πa02
dx+∑
k=1∞
[ak∫
π−πc
oskx
dx+b
k∫π−
πsin
kxdx
] 後面的積分很明顯是0，於是我們求出了a0的值。
那麼如何求出an,如果讓原函式乘以cos(nx)再進行積分。 ∫π
−πf(
x)co
snxd
x=a0
2∫π−
πcos
nxdx
+∑k=
1∞[a
k∫π−
πcos
kxco
snxd
x+bk
∫π−π
sink
xcos
nxdx
] 利用三角函式的正交性，可以得到： an
=1π∫
π−πf
(x)c
osnx
dx(n
=1,2
,3,…
) 再用sin(nx)乘，再進行積分就會得到bn, bn
=1π∫
π−πf
(x)s
innx
dx(n
=1,2
,3,…
) 於是乎得到了乙個任意函式展開成為正余弦函式的通用表示式，同時為什麼會出現a0/2而不是直接的a0的原因也很明朗：就是讓整個表示式更具有通用性，體現一種簡潔的美。
通過了以上的證明過程，應該很容易記住傅利葉變換的公式。
到此為止，作為乙個工程人員不用再去考慮了，可是作為每乙個數學家他們想的很多，他們需要知道右側的展開式為什麼收斂於原函式，這個好難，有個叫dirichlet的傢伙證明出如下結論：
有興趣的可以繼續找書看，可惜我有興趣沒時間····
至此以2π為週期的傅利葉變換證明完畢，只不過我們經常遇到的週期函式我想應該不會這麼湊巧是2π，於是乎任意的乙個週期函式如何知道其傅利葉變換呢，數學向來都是乙個很具有條理性的東西，任意週期的函式的傅利葉變換肯定也是建立在2π週期函式的基礎之上的。
也就是說如何讓乙個以2l為週期的函式變成乙個以2π為週期的函式，於是乎可以使用z=2π*x/(2l),這樣就z就是乙個以2π為週期的函式了，於是乎得到如下公式： f(
x)=a
02+∑
n=1∞
(anc
osnπ
xl+b
nsin
nπxl
),an
=1l∫
l−lf
(x)c
osnπ
xldx
,bn=
1l∫l
−lf(
x)si
nnπx
ldx
傅利葉函式看起來其實還是比較複雜的，有沒有一種更簡單的表達形式來表示呢。既然提出這個問題，肯定是有的，我個人猜想肯定是復變函式大師在挖掘復變函式的時候，用復變函式去套用經典的傅利葉變換，偶然間發現的······
乙個基本的尤拉公式ei
θ=co
sθ+i
∗sin
θ ,這個很容易可以從復數的幾何意義上得知，我們通過取兩個互為相反數的θ可以得到兩個式子，進而可以得到cos 和 sin 的複數表達形式： ft
(t)=
a02+
∑n=1
∞(an
cosn
ω0t+
bnsi
nnω0
t)=a
02+∑
n=1∞
(an[
frac
12(e
jnω0
t+e−
jnω0
t)]−
bn[j
2(ej
nω0t
−e−j
nω0t
)])
最終推理得到： ft
(t)=
∑n=−
∞+∞c
nejn
ωnt(
n=0,
±1,±
2,…)
其中cn
=1t∫
t2−t
2f(t
)e−j
nω0t
dt也就是 ft
(t)=
∫+∞−
∞1t[
∫+∞−
∞f(t
)e−j
ωtdt
]ejω
tdω
定義f(t
) 的傅利葉變換為： f(
ω)=∫
+∞−∞
f(t)
e−jω
tdt
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