二叉排序樹

二叉排序樹是資訊學競賽中乙個相當簡單又相當複雜的東西，其實考到的次數不多，但是還是挺常用的。

【定義】

二叉排序樹的定義是這樣的：設當前節點為o，且節點的資料結構是這樣的：

struct node

則：o.left->value < o.value，o.right->value > o.value。在這裡不考慮重複的元素，則對於每乙個節點而言，這個節點的左孩子結點小於這個節點，右孩子節點大於這個節點。

因此我們可以得出推論：每一棵二叉排序樹的中序遍歷的序列是有序的！中序遍歷先訪問左孩子結點，再訪問當前節點，最後訪問右孩子節點。而」最左「的節點是最小的，」最左「的節點的父節點第二小……一直到」最右「的節點最大，這就是」二叉排序樹「的**，其中序遍歷的序列是有序的。

既然是一種這樣的資料結構，那自然就是可以維護乙個有序集合的。有序集合，就必須有查詢、插入、刪除之類的基本操作，下面來逐一介紹。

【查詢】

因為二叉排序樹的所有節點都滿足左子結點小於當前節點，右子結點大於當前子節點，所以我們可以用一種類似二分查詢的思路。比如說先比較當前的節點與待查詢值，如果相等就找到了，小於則像左邊遞迴搜尋，大於則向右邊遞迴搜尋。

const int not_found = -1;
node* find(node* o,int x)

不過，這個過程也可以直接用迴圈迭代實現。迴圈的迭代更為高效，而且不會爆棧，所以可以處理更大規模的資料了，**如下：

const int now_found = -1;
node* find(node* o,int x) 
return (o == null ? not_found : o);
}

【插入】

插入同時也是很簡單的。插入是這樣的：先找到乙個符合要求的空位，接著直接插入，一般來說也是用遞迴的寫法。和查詢差不多。不過插入也可以認為是先找到位置再賦值。

void insert(node* &root,int x)
int d = root -> cmp(x);
if (d == 0) insert(root -> right,x);
else if (d == 1) insert(root -> left,x);
else if (d == -1) insert(root -> left,x);
}

因為是普通的二叉排序樹，所以說沒有那麼複雜。

【刪除】

刪除的操作倒比較麻煩了。首先，我們要分情況討論。如果當前要刪的節點是葉節點，那就直接刪，而其他的節點就不行了，要進行一些特殊的處理，使得這個節點變成乙個葉節點。一般來說，有兩種方法，分別是利用【旋轉】操作，還有一種的思路比較直觀，實現起來比較簡單的方法，只需要一次交換即可。但是最具有通用性的還是用【旋轉】操作。在這裡，我們就順便定義一下【旋轉】操作。

【旋轉】

考慮下面的兩顆樹，可以發現，它們的中序遍歷序列是一樣的，但是節點的位置卻發生了改變。

它們的中序遍歷都是aobkc，但是點o不再是根了。這說明，我們可以在不改變二叉排序樹性質的情況下，改變二叉排序樹的形態！實際上，在旋轉中，從第一張圖的形態變為第二張圖的形態，叫做左旋，其逆操作叫做右旋。這是很形象的名字。觀察一下，我們只需要改變o的右孩子，k的左孩子，也就是說，**很簡短。下面是左旋和右旋的**：

左旋：

void left_rotate(node* o)

右旋：

void right_rotate(node* k)

【刪除（續）】

講完了旋轉，繼續回到刪除。

既然要把某個點從其本來的位置一直移到葉節點上，那麼我們完全可以一直旋轉。在node型別中多記乙個size，表示以當前節點為根的子樹大小，而每一次旋轉的時候都要維護一下，不難寫出相應的maintain()函式，思路很直觀。

然後，就一直將節點向子樹大小較小的那一邊旋轉即可，很顯然必定會旋轉到葉節點。不過要加乙個特判，不然的話就訪問了指向null的節點的大小了。指向null的節點的size應該是0。用乙個迭代的寫法就很容易寫出來了，非常類似於查詢和插入。

void _delete(node* o)
o = null;
}

二叉排序樹

二叉排序樹

二叉排序樹

二叉排序樹

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