凸包
凸包（convex hull）是乙個計算幾何（圖形學）中的概念。
在乙個實數向量空間v中，對於給定集合x，所有包含x的凸集的交集s被稱為x的凸包。
x的凸包可以用x內所有點(x1，…xn)的線性組合來構造.
在二維歐幾里得空間中，凸包可想象為一條剛好包著所有點的橡皮圈。
用不嚴謹的話來講，給定二維平面上的點集，凸包就是將最外層的點連線起來構成的凸多邊型，它能包含點集中所有的點。
定義
⒈對於乙個集合d，d中任意有限個點的線性組合的全體稱為d的凸包。
⒉對於乙個集合d，所有包含d的凸集之交稱為d的凸包。
可以證明，上述兩種定義是等價的
概念
1 點集q的凸包（convex hull）是指乙個最小凸多邊形，滿足q中的點或者在多邊形邊上或者在其內。右圖中由紅色線段表示的多邊形就是點集q=的凸包。
2 一組平面上的點，求乙個包含所有點的最小的凸多邊形，這就是凸包問題了。這可以形象地想成這樣：在地上放置一些不可移動的木樁，用一根繩子把他們盡量緊地圈起來，並且為凸邊形，這就是凸包了。
平面求法
常見求法
凸包最常用的凸包演算法是graham掃瞄法和jarvis步進法
graham』s scan法
這個演算法是由數學大師葛立恆（graham）發明的，他曾經是美國數學學會（ams）主席、at&t首席科學家以及國際雜技師協會（ija）主席。
問題 給定平面上的二維點集，求解其凸包。
過程 ⒈ 在所有點中選取y座標最小的一點h，當作基點。如果存在多個點的y座標都為最小值，則選取x座標最小的一點。座標相同的點應排除。然後按照其它各點p和基點構成的向量h,p；與x軸的夾角進行排序，夾角由大至小進行順時針掃瞄，反之則進行逆時針掃瞄。實現中無需求得夾角，只需根據餘弦定理求出向量夾角的余弦值即可。以下圖為例，基點為h，根據夾角由小至大排序後依次為h，k，c，d，l，f，g，e，i，b，a，j。下面進行逆時針掃瞄。
⒉ 線段h,k；一定在凸包上，接著加入c。假設線段k,c；也在凸包上，因為就h，k，c三點而言，它們的凸包就是由此三點所組成。但是接下來加入d時會發現，線段k,d；才會在凸包上，所以將線段k,c；排除，c點不可能是凸包。
⒊ 即當加入一點時，必須考慮到前面的線段是否會出現在凸包上。從基點開始，凸包上每條相臨的線段的旋轉方向應該一致，並與掃瞄的方向相反。如果發現新加的點使得新線段與上線段的旋轉方向發生變化，則可判定上一點必然不在凸包上。實現時可用向量叉積進行判斷，設新加入的點為pn + 1，上一點為pn，再上一點為pn - 1。順時針掃瞄時，如果向量pn - 1,pn；與pn,pn + 1；的叉積為正（逆時針掃瞄判斷是否為負），則將上一點刪除。刪除過程需要回溯，將之前所有叉積符號相反的點都刪除，然後將新點加入凸包。
在上圖中，加入k點時，由於線段h,c要旋轉到h,k的角度，為順時針旋轉，所以c點不在凸包上，應該刪除，保留k點。接著加入d點，由於線段k,d要旋轉到h,k的角度，為逆時針旋轉，故d點保留。按照上述步驟進行掃瞄，直到點集中所有的點都遍歷完成，即得到凸包。
複雜度
這個演算法可以直接在原資料上進行運算，因此空間複雜度為o⑴。但如果將凸包的結果儲存到另一陣列中，則可能在**級別進行優化。由於在掃瞄凸包前要進行排序，因此時間複雜度至少為快速排序的o(nlgn）。後面的掃瞄過程複雜度為o(n），因此整個演算法的複雜度為o(nlgn）。
jarvis步進法。
對於乙個有三個或以上點的點集q，過程如下：
計算點集最右邊的點為凸包的頂點的起點，如上圖的p3點。
do for i = 0 to 總頂點數
計算有向向量p3->pi
if 其餘頂點全部在有向向量p3->pi的左側或右側，則pi點為凸包的下一頂點
pi點加入凸包列表
goto 1
end if
next
exit do
1: loop
此過程執行後，點按極角自動順時針或逆時針排序，只需要按任意兩點的次序就可以了。而左側或右側的判斷可以用前述的向量點積性質實現。
中心法
先構造乙個中心點，然後將它與各點連線起來，按斜率遞增的方法，求出凸包上部；再按斜率遞減的方法，求出凸包下部。
水平法
從最左邊的點開始，按斜率遞增的方法，求出凸包上部；再按斜率遞減的方法，求出凸包下部。水平法較中心法減少了斜率無限大的可能，減少了**的複雜度。
快包法
選擇最左、最右、最上、最下的點，它們必組成乙個凸四邊形（或三角形）。這個四邊形內的點必定不在凸包上。然後將其餘的點按最接近的邊分成四部分，再進行快包法(quickhull)。
學習筆記 凸包
想學斜率優化，先把先決條件凸包給肝了。然後完全不懂，於是就咕了。順便看了一下線代 其實並不會 講真這東西耗了我半個暑假 20210305更新 po學了向量回來了發現這寫的什麼玩意，已更新完畢，您可從更新部分跳至凸包部分。同時，原 前置知識 叉積 部分已棄用並放置於最後。目錄更新 以下內容大部分在人教...
平面凸包 學習筆記
什麼是平面凸包？平面凸包 以下簡稱 凸包 是指覆蓋平面上n個點的最小凸多邊形。形象來說就是把n個點看成n根柱子，用橡皮筋去緊框住這n根柱子，最後形成的拉緊的多邊形就是要求的凸包。怎麼求平面凸包？1.jarvis演算法 首先我們需要了解凸包的數學構造法 找一條直線l過其中一點 記為a 並且其他所有點都...
OpenCV學習筆記（十五）之凸包
老規矩 妹妹鎮樓 輸入候選點，來自findcontours outputarray hull,凸包 bool clockwise,順時針方向 bool returnpoints,true表示返回點個數，如果第二個引數是vector則自動忽略 首先把影象從rgb轉為灰度影象 轉為二值影象 通過發現輪廓...