字尾陣列倍增法

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字尾陣列

【字尾陣列是處理字串的有力工具。字尾陣列是字尾樹的乙個非常精巧的替代品，它比字尾樹容易程式設計實現，能夠實現字尾樹的很多功能而時間複雜度也並不遜色，而且它比字尾樹所占用的記憶體空間小很多。可以說，在資訊學競賽中字尾陣列比字尾樹要更為實用。】

1.1、基本定義

子串：字串s的子串r[i..j]，i≤j，表示r串中從i到j這一段，也就是順次排列r[i]，r[i+1]，…，r[j]形成的字串。

字尾：字尾是指從某個位置i開始到整個串末尾結束的乙個特殊子串。字串r的從第i個字元開始的字尾表示為suffix(i)，也就是suffix(i)=r[i..len(r)]。

大小比較：關於字串的大小比較，是指通常所說的「字典順序」比較，也就是對於兩個字串u、v，令i從1開始順次比較u[i]和v[i]，如果u[i]=v[i]則令i加1，否則若u[i]

v[i]則認為u

v，u[i]

v[i]則認為u

v（也就是v

u），比較結束。如果i

len(u)或者 i

len(v)仍比較不出結果，那麼若len(u)

len(v)則認為u

v，若 len(u)=len(v)則認為u=v，若len(u)

len(v)則 u

v。從字串的大小比較的定義來看，s的兩個開頭位置不同的字尾 u和v進行比較的結果不可能是相等，因為 u=v的必要條件len(u)=len(v)在這裡不可能滿足。

字尾陣列：字尾陣列sa是乙個一維陣列，它儲存1..n的某個排列sa[1]，sa[2]，……，sa[n]，並且保證 suffix(sa[i])

suffix(sa[i+1])，1≤i

n。也就是將s的n個字尾從小到大進行排序之後把排好序的字尾的開頭位置順次放入sa中。

名次陣列：名次陣列rank[i]儲存的是suffix(i)在所有字尾中從小到大排列的「名次」。

簡單的說，字尾陣列是「排第幾的是誰？」，名次陣列是「你排第幾？」。容易看出，字尾陣列和名次陣列為互逆運算。如圖1所示。

設字串的長度為n。為了方便比較大小，可以在字串後面新增乙個字元，這個字元沒有在前面的字元中出現過，而且比前面的字元都要小。在求出名次數組後，可以僅用o(1)的時間比較任意兩個字尾的大小。在求出字尾陣列或名次陣列中的其中乙個以後，便可以用o(n)的時間求出另外乙個。任意兩個字尾如果直接比較大小，最多需要比較字元n次，也就是說最遲在比較第n個字元時一定能分出「勝負」。

1.2、倍增演算法

倍增演算法的主要思路是：用倍增的方法對每個字元開始的長度為2k的子字串進行排序，求出排名，即rank值。k從0開始，每次加1，當2k大於n以後，每個字元開始的長度為2k的子字串便相當於所有的字尾。並且這些子字串都一定已經比較出大小，即rank值中沒有相同的值，那麼此時的rank值就是最後的結果。每一次排序都利用上次長度為2k-1的字串的rank值，那麼長度為2k的字串就可以用兩個長度為2k-1的字串的排名作為關鍵字表示，然後進行基數排序，便得出了長度為2k的字串的rank值。以字串「aabaaaab」為例，整個過程如圖2所示。其中x、y是表示長度為2k的字串的兩個關鍵字。

具體實現：

int wa[maxn],wb[maxn],wv[maxn],ws[maxn];

int cmp(int *r,int a,int b,int l)
void da(int *r,int *sa,int n,int m)

這裡可以看到規定r[n-1]=0的好處，如果r[a]=r[b]，說明以r[a]或r[b]開頭的長度為l的字串肯定不包括字元r[n-1]，所以呼叫變數r[a+l]和r[b+l]不會導致陣列下標越界，這樣就不需要做特殊判斷。執行完上面的**後，rank值儲存在x陣列中，而變數p的結果實際上就是不同的字串的個數。這裡可以加乙個小優化，如果p等於n，那麼函式可以結束。因為在當前長度的字串中，已經沒有相同的字串，接下來的排序不會改變rank值。例如圖1中的第四次排序，實際上是沒有必要的。對上面的兩段**，迴圈的初始賦值和終止條件可以這樣寫：

for(j=1,p=1;p在第一次排序以後，rank陣列中的最大值小於p，所以讓m=p。整個倍增演算法基本寫好，**大約25行。演算法分析：倍增演算法的時間複雜度比較容易分析。每次基數排序的時間複雜度為o(n)，排序的次數決定於最長公共子串的長度，最壞情況下，排序次數為logn次，所以總的時間複雜度為o(nlogn)。

字尾陣列倍增法

字尾陣列（倍增法）

字尾陣列倍增法詳解

字尾陣列倍增演算法模板

字尾陣列倍增法

字尾陣列（倍增法）

字尾陣列 倍增法詳解

字尾陣列 倍增演算法模板

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