字尾陣列倍增構造演算法說解

字尾陣列，作為一種高效的字串處理資料結構，沒有雜湊演算法的隨機性，也沒有 kmp 演算法的侷限性，是作為一種較為全面而程式設計思想不甚複雜的資料結構加以應用。字尾陣列應用最為廣泛的一種構建方法是倍增構造，時間複雜度為 o(nlogn)，其中 n 為待處理字串的長度。

我們不妨設待處理的字串儲存在 s[1 .. n] 中，則在乙個字尾陣列 sa[1 .. n] 中，sa[i] 表示該字串的所有字尾集合中字典序為 i 的字尾為 s[sa[i] .. n]。與之相對應的字尾名次數組 rank[1 .. n] 中，rank[i] 表示字尾 s[i .. n] 在該字串的所有字尾集合中的字典序排名為 rank[i]。顯然，rank[sa[i]] = sa[rank[i]] = i。

倍增演算法究其本質，類似於歸併排序的過程。當第 i 輪倍增結束後，演算法保證原字串的所有字尾已經按前 2i

位字典序有序排列。我們設 rank[i][1 .. n] 表示第 i 輪倍增後的字尾名次數組，則先預處理出 rank[0][1 .. n] 的值（元素相同時排名相同）。假設我們已經處理完 rank[i][1 .. n] 的值，此時若想處理出 rank[i + 1][1 .. n] 的值，對於第 j 個元素，我們只需以 rank[i][j] 為第一關鍵字，以 rank [i][j + 2i

] 為第二關鍵字排序，並重新編號名次即可。

對於以上過程成立的原因，我們可以如此考慮。rank[i][j] 表示 s[j .. j + 2i

- 1] 的排名，rank [i][j + 2i

] 表示 s[j + 2i

.. j + 2i

+1- 1] 的排名，排序過程相當於以 s[j .. j + 2i

- 1] 為第一關鍵字，以 s[j + 2i

.. j + 2i

+1- 1] 為第二關鍵字排序，即以 s[j .. j + 2i

+1- 1] 按字典序排序，重編號後的結果就是 rank[i+1][j] 的值。

在每一輪倍增過程的排序中，若使用快排，則每輪倍增的時間複雜度為 o(nlogn)，整個倍增過程的時間複雜度為 o(nl

og2n

)。考慮到 rank[1 .. n] 中的元素不超過 n，我們可以使用基數排序來降低時間複雜度，使得每輪倍增的時間複雜度為 o(n)，從而使整個倍增過程的時間複雜度為 o(nlogn)。

每一輪基數排序的過程中，都會進行兩次計數排序。第一次計數排序，以第二關鍵字對當前名次陣列排序，將排序結果儲存在索引陣列裡。第二次計數排序，以索引陣列為遍歷順序，以第一關鍵字對當前名次陣列排序，將排序結果儲存在當前字尾陣列裡。這樣可以保證基數排序的正確性。計數排序的**如下：

#define countsort(_rank,_sa,_index,_n,_m,_incr) \

基數排序後，要對名次陣列重編號，其中第一關鍵字和第二關鍵字對應相同的元素，名次也應相同。由於基數排序處理出當前字尾陣列，所以可以用當前字尾陣列將當前名次陣列處理出來。具體方法是，必然有 rank[sa[i - 1]] = rank[sa[i]] 或 rank[sa[i - 1]] + 1 = rank[sa[i]]。重編號的**如下：

#define reorder(_rank,_sa,_index,_n,_m,_incr) \

在倍增演算法之前，先將字元轉成數字儲存在名次陣列裡，再用一次重編號將 rank[0][1 .. n] 處理出來。在倍增演算法的過程中，若增量 i 大於等於 n 或重編號後的最大名次等於 n，則可以確定字尾陣列已經構造完成。倍增演算法的**如下：

char s[max_n];
int height[max_n],count[max_n],n,rank[max_n],sa[max_n];
void doubling()
m=0;
for(int i=1;i<=n;height[rank[i++]]=m)
for(m?m--:0;s[i+m]==s[sa[rank[i]-1]+m];m++);
}

字尾陣列倍增構造演算法說解

字尾陣列倍增演算法模板

利用倍增演算法的字尾陣列

字尾陣列倍增演算法模板詳解

字尾陣列倍增構造演算法說解

字尾陣列 倍增演算法模板

利用倍增演算法的字尾陣列

字尾陣列倍增演算法模板詳解

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