如下圖，位於xy平面的單位正方形投影到任意平面p上後，變成了不規則的四邊形abcd，我們能根據正方形的四個頂點投影前後的座標，計算出平面xy上任意點 （x,y) 投影到平面p 上之後的座標 （x', y') 嗎？
我們注意到正方形的四個邊投影到平面p之後，分別變為線段ab，bc，cd，da，也就是說投影前位於一條直線上的點，投影後仍然位於一條直線上，對於直線來說，這種變換是線性的；但投影前平行的兩條直線，投影後不再平行，對於平面而言，這種變換不是線性的。不過，雖然這種變換不能表示成線性變換，但可以表示成兩個線性變換相除，於是就有了齊次座標，
齊次座標的好處是，可以把投影變換轉化成線性變換，從而使用矩陣運算來對問題求解。
使用齊次座標，可以有以下變換
寫成方程式表達：
x' = ax + by + cw
y' = dx + ey + fw
w'= gx + hy + iw
其中 （x,y,w) 是變換前的座標，（x',y',w')是變換後的座標，(a b c ...)是變換矩陣
根據上面的討論，我們已知四邊形四個頂點變換前後的二維座標，每個點可以寫出三個方程式，總共有12個方程式，而變換矩陣共有9個未知數，再加上變換之後的座標w也是未知數，總共有13個未知數，於是這個方程組有無限多組解，但是在投影平面上，每個點的齊次座標本身就可以有無數個表達，我們只要把w規則化為1，就可以求出x, y
根據仿射變換理論，係數c，f表示變換前後的原點位移（平移變換），為了簡化計算，我們假定c，f都等於0（即變換前後原點沒有位移），並且把係數i 調整成1，於是有
其中 p是比例因子
寫成方程式
px' = ax + by (1)
py' = dx + ey (2)
p = gx + hy + 1 (3)
用式3消去式1和式2中的p，就得到2個方程式
ax + by - gxx' - hyx' = x' （4）
dx + ey - gxy' - hyy' = y' (5 )
我們假定由點（0，0）（1，0）（0，1）（1，1）四個點組成的單位正方形區域對映到目標平面後的座標分別是 (0,0) (x1',y1') (x2', y2') (x3', y3'), 原點（0，0）對映到 （0，0）不在計算之列，把其它三個點分別代入式（4），式（5），一共得到六個方程式
a - gx1' = x1' (6)
b - hx2' = x2' (7)
a + b - gx3' - hx3' = x3' (8)
d - gy1' = y1' (9)
e - hy2' = y2' (10)
d + e - gy3' - hy3' = y3' (11)
把式（6）（7）（10）（11）變換，得到
a = x1』 + gx1』 （12）
b = x2』 + hx2' （13）
d = y1』 + gy1』 （14）
e = y2』 + hy2' （15）
然後代入式（8）（11），得到
x1' + gx1' + x2' + hx2' - gx3' - hx3' = x3'
y1' + gx1' + y2' + hy2' - gy3' - hy3' = y3'
整理後為
g(x3' - x1') + h(x3' - x2') = x1' - (x3' - x2')
g(y3' - y1') + h(y3' - y2') = y1' - (y3' - y2')
令 dx31 = x3' - x1'
dx32 = x3' - y2'
dy31 = y3' - y1'
dy32 = y3' - y2'
從以下 開始，為書寫方便，去掉了x,y後面的撇號
dx31g + dx32h = x1 - dx32
dy31g + dy32h = y1 - dy32
求解此方程
係數矩陣 m =
dx31 dx32
dy31 dy32
det(m) = dx31dy32 - dy31dx32
逆矩陣m-1 = 1 / det（m）*
dy32 -dx32
-dy31 dx31
於是g * det(m) = dy32 * (x1 - dx32) - dx32 * (y1 - dy32)
= x1 * dy32 - dx32 * dy32 - y1 * dx32 + dx32 * dy32
= x1 * dy32 - y1 * dx32
h * det(m) = -dy31 * (x1 - dx32) + dx31 * (y1 - dy32)
注意到x1 - dx32 = x2 - dx31, y1 - dy32 = x2 - dy31, 於是
h * det(m) = -dy31 *(x2 - dx31) + dx31 *(y2 - dy31)
= -x2*dy31 + dy31*dx31 + y2*dx31 - dx31*dy31
= y2*dx31 - x2 * dy31
把 g，h 分別代入（12）（13）（14）（15）
就可以求出a，b，c，d
a = x1 * (1 + g)
b = x2 * (1 + h)
d = y1 * (1 + g)
e = y2 * ( 1 + h)
這樣就求出了變換矩陣的全部係數。
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