liblinear
libsvm：台灣的
線性可分的svm：
maxλs.
t.yi
(wxi
+b)|
|w||
≥λi=
1,2…
,n代入λ=
λ^/|
|w||
， 於是得到
maxλ^|
|w||
s.t.
yi(w
xi+b
)≥λ^
i=1,
2…,n
其中λ 是幾何距離，λ^
是函式距離。λ^
的取值對上述優化問題沒有影響，因為如果λ^
按比例增加，那麼目標函式和約束中的w 和
b也按比例增加，超平面沒有變化。可以取λ^
=1，這樣上面的優化問題就可以寫成：
max12|
|w||
2s.t
.yi(
wxi+
b)≥1
i=1,
2…,n
目標函式是二次函式，約束條件是仿射函式的情況是凸二次規劃問題。該問題對應的拉格朗日函式是： l(
w,b,
α)=1
2||w
||2+
∑iαi
−∑iα
iyi(
wxi+
b)原來的優化問題對應拉格朗日函式的極大極小問題：
maxα
minw,b
l(w,
b,α)
=12|
|w||
2+∑i
αi−∑
iαiy
i(wx
i+b)
先令拉格朗日函式對w 和
b的導數為0，得到 w=
∑iαi
yixi
0=∑iαiy
i 把這兩個式子代回去，得到對偶問題：
maxα∑i
αi−1
2∑i∑
jαiα
juiy
jxix
js.t
.∑iα
iyi=
0,αi
≥0,i
=1,2
,…,n
kkt條件： αi
≥0 α
i(yi
(wxi
+b)−
1)=0
yi(wxi+
b)−1
≥0求得最優的α∗
之後，就可以得到w∗
和b∗ : w∗
=∑iα
∗iyi
xi, b=
yj−w
∗xj,
任意的α
j>0的
下標 求
b 得式子來自於kkt條件的第二項。
非線性問題
通過對映ϕ(
x)把低維特徵空間對映到高維特徵空間，使得樣本在高維空間是線性可分的。過程是一樣的，區別就在於xi
xj寫成k(x
i,xj
) 。線性不可分問題
這時需要加入乙個在約束中加入鬆弛變數，允許一定程度的誤分，但又不可能誤分的太多，所以可以在優化目標裡面加入對誤分的懲罰。
max12|
|w||
2+c∑
iξis
.t.y
i(wx
i+b)
≥1−ξ
ii=1
,2…,
nξi≥
0 一樣的求解過程，得到的對偶函式形式一致，只不過多了
0<
α<
c :
maxα∑i
αi−1
2∑i∑
jαiα
juiy
jxix
js.t
.∑iα
iyi=
0,0≤
αi≤c
,i=1
,2,…
,n ξ
i 的。
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