我們考慮一下三維的情況，問題模型如下， ma
xs.t
.f(x
1,x2
,x3)
g1(x
1,x2
,x3)
=c1g
2(x1
,x2,
x3)=
c2(1)
其中，約束條件確定了一條曲線。依據前面討論，該曲線上使得目標函式取得最大值的位置，必定與該位置目標函式等高面 f(
x1,x
2,x3
)=c 相切。換句話講，曲線的切向方向與 f(
x1,x
2,x3
) 梯度方向垂直。 ⎧⎩
⎨⎪⎪⎪
⎪⎪⎪∂
g1∂x
1dx1
∂g2∂
x1dx
1++∂
g1∂x
2dx2
∂g2∂
x2dx
2++∂
g1∂x
3dx3
∂g2∂
x3dx
3==0
0(2)
其中， gx
=⎛⎝⎜
⎜⎜∂g
1∂x1
∂g1∂
x2∂g
1∂x3
∂g2∂
x1∂g
2∂x2
∂g2∂
x3⎞⎠
⎟⎟⎟(3)
稱為 jacobian 矩陣。由 (2) 式可知，約束條件曲線的切線方向 dx
=(dx
1,dx
2,dx
3)是 jacobian 矩陣行向量所在平面的法線。哈哈，我們知道目標函式 f(
x1,x
2,x3
在路徑最大值位置的梯度向量，必然落在 jacobian 矩陣行向量確定的平面內。於是， ∇f
(x1,
x2,x
3)=λ
1∇g1
(x1,
x2,x
3)+λ
2∇g2
(x1,
x2,x
3)(4)
接下來求解過程與二維情況完全一樣，不再贅述。
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