UOJ 34 多項式乘法

快速傅利葉變換

關於fft網上的教材不多，而且大多與演算法問題關係不大。強烈推薦乙個。這個講得真的很不錯：從多項式乘法到快速傅利葉變換

本弱數學知識不夠多，複數、單位根之類的知識都是下午臨時補的。。。從下午開始看fft，看到晚上，總算大概是把遞迴版fft的思路看懂了吧。（迭代版的還沒看懂。。。有空慢慢鑽研）upd(2017.4.3):已經成功實現了迭代版，詳見這份**的下乙份**……

注意到idft的時候需要把所有單位根取倒數，那麼有乙個複數倒數式子：

設複數z=a+b i

那麼1/z=(a-bi) / [(a+bi)(a-bi)] =(a-bi) / (a²+b²) =a / (a²+b² ) - b i / (a²+b²)

然後我們發現單位根的a²+b²=sin²+cos²=1,所以只要變化連線a和bi的符號即可

遞迴版**打了注釋，以供日後觀賞學習

#include

#include
#define n 1000000
using
namespace
std;
struct
complex
complex
operator + (complex a) 
complex
operator - (complex a) 
complex
operator * (complex a)
complex
operator ^ (int f)//方便起見，我用異或表示是否取倒數 
}a[n], b[n], w[n], temp[n];
const
double eps = 1e-2;
int l;
void fft(int n, complex buffer, int beg, int step, int f)
for(int i = 0; i < n; i++)
buffer[beg+i*step]=temp[i];
}void init_w(int n)
int main()

做法思想都一樣，都是奇偶分類然後大力化簡……

和遞迴版不同的地方在於，遞迴版的分類是手動分組，通過每次設定step和beg來做。迭代版在剛開始就先把組分好了，然後就只要從下往上迭代直接做。

補充一下剛開始沒理解好的東西。

在迭代的過程中，設當前迭代塊的大小為

i ，則深度為n/

i，記n 個

n次單位根是wk

n，k=

0,1,

...,

n−1

此時陣列裡的區間[l

,l+i

−1] 的第k(

k=0,

1,..

.,i−

1)個位置的含義是，wk

n/i 在係數是al

,al+

1,..

.,al

+i−1

的情況下的求值答案(當然這裡的

a 是已經分組過的)。

最終迭代塊為

n，深度為

1 時就是答案。

兩邊用推出來的式子合併即可。

#include

#include
#include
#define n 400005 
using
namespace
std;
namespace endless
;} complex
operator - (const
complex &that) const ;}
complex
operator * (const
complex &that) const ;}
}a[n], b[n], w[n], re_w[n];
const db pi = acos(-1.0);
int la, lb, n;
void init_w()
;re_w[i] = (complex);}}
void fft(complex *a, complex *w)
for(int i = 2; i <= n; i <<= 1)}}
}void main()
}int main()

UOJ 34 多項式乘法

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