很久以前就知道五邊形數定理了……但是用它a過幾道題，一直不知道怎麼證明感覺很不痛快 qwq……最近在wiki上找到乙個簡單優雅的證明方法……在網上並沒有找到過中文的證明，所以把它粗略翻譯一下，放在這裡 qwq
五邊形數定理是乙個尤拉發現的數學定理，描述尤拉函式展開式的特性，尤拉函式展開式如下： ϕ(
x)=∏
n=1∞
(1−x
n)=∑
k=−∞
∞(−1
)kxk
(3k−
1)2=
1+∑k
=1∞(
−1)k
xk(3
k±1)
2
其中，形如 k(
3k−1
)2的數被稱為（廣義）五邊形數
尤拉函式的倒數是分割函式的母函式，即： 1ϕ
(x)=
∑k=0
∞p(k
)xk
其中 p(k
) 為
k 的分割函式，即把
k寫成若干個正整數的和的方案數
配合五邊形數定理，我們有：(1
+∑k=
1∞(−
1)kx
k(3k
±1)2
)(∑k
=0∞p
(k)x
k)=1
考慮等式兩邊 xn
的係數，
n>
0 時，等式右邊 xn
係數為
0 ，考察等式左邊，我們有： p(
n)−p
(n−1
)−p(
n−2)
+p(n
−5)+
p(n−
7)+⋯
=0由此我們可以得到乙個 p(
n)的遞迴式，在競賽中，我們常根據這個遞迴式預處理
1 ~n的
p(n)
，時間複雜度為 o(
nn√)
（我的英語非常差勁，以下的內容是我根據 wiki 的內容自己口胡的。。。
我們要證明： ϕ(
x)=∑
k=−∞
∞(−1
)kxk
(3k−
1)2
考慮尤拉函式 ϕ(
x)=∏
∞k=1
(1−x
k)的 xn
項係數的組合意義，它等於：把
n 拆成偶數個互不相同的正整數的和的方案數 - 把
n拆成奇數個互不相同的正整數的和的方案數。
舉例來說，考慮 x5
的係數，我們有 2 種方法把
5 拆成偶數個互不相同的正整數的和 (1+4, 2+3)，有 1 種方法把
5拆成奇數個互不相同的正整數的和 (5)，所以 x5
的係數為
1 ；
同理，x
12的係數為 −1
，因為我們有 7 種方法把
12 拆成偶數個（互不相同的正整數）和，但是有 8 種方法把它拆成奇數個部分的和。
對於正整數
n ，我們嘗試把它的偶數劃分和奇數劃分一一對應起來，考慮
n的任意一種劃分的 ferrers 圖，下圖展示了 n=
20 的一種劃分：20=
7+6+
4+3 ：
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 令
m 等於ferrers圖最後一行（即最小的數對應的那一行）的元素個數，在上例中，m=
3令 s 等於ferrers圖最右邊的 45度斜線 上的元素個數，這裡 s=
2我們標記的元素展示如下圖：
0 0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 0 2
0 0 0 0
1 1 1
考慮 s 和
m的大小關係： 若 s
<
m ，我們把最右45度斜線上的元素取出來，組成新的一行，新的ferrers圖對應了一種新的拆分，如下圖：
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 1
2 2 若
m≤s （例如上圖中就有 m=
2,s=
5 ），我們把最後一行
m 個元素取出來，進行相反的過程，在前
m行末尾各新增乙個元素：
0 0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 0 2
0 0 0 0
1 1 1
不難發現，這樣的過程能夠由一種
n 拆分得到另一種奇偶性不同的拆分，並且對一種拆分進行兩次上述過程能得到原來的拆分（即操作可逆）。這使得我們可以把一種奇拆分和偶拆分對應起來，它們對 xn
的 +1 和 −1
的貢獻相互抵消，最終使得係數為
0 ，這個規律對每一項都適用——除了有些時候，不是所有
n的拆分都能進行上述過程，有兩種情形：
<1> m=
s 並且45度斜線和最後一行相遇：
0 0 0 0 2
0 0 0 2
1 1 1
嘗試進行上述操作，我們會得到：
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 1
注意到這次操作沒有改變拆分的奇偶性，並且它是不可逆的，令 k=
m ，我們有： n=
k+(k
+1)+
(k+2
)+⋯+
(2k−
1)=k
(3k−
1)2
這一項貢獻的符號與
m 的奇偶性相關，等於 (−
1)k
<2> m=
s+1 並且45度斜線和最後一行相遇：
0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 2
1 1 1 2
嘗試進行上述操作，我們得到：
0 0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 1
2 2 2
這甚至不是乙個合法的方案，令 k=
1−m ，我們有：n=
(1−k
)+(2
−k)+
⋯+(−
2k)=
k(3k
−1)2
這一項貢獻的符號為 (−
1)k
總之，我們展示了對於一般的
n ，
n拆分成奇數個不同的正整數的方案和
n 拆分成偶數個不同的正整數的方案恰好能互相抵消。特別地，
n若是乙個廣義五邊形數 gk
=k(3
k−1)
2 ，這種情況下
n 的奇偶拆分互相抵消之後，會留下一項，符號為 (−
1)k，這恰好等於等式右邊，證明完畢。
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