一、概述。
實變函式，又叫實分析，整本書滿滿的證明就講了乙個勒貝格積分。
最為大家所熟知的是用牛頓-萊布尼茨公式算的黎曼積分。但是黎曼積分本身依賴於函式的連續性，像不連續的狄利克雷函式就無法積分了。
為了解決這一問題，勒貝格利用分割值域的方法，使得函式可積。
但是分割出來的值域，只能放在一起，形式集合。
如果我們要求出狄利克雷函式的面積，就需要知道它的邊長，也就是長度。
集合本身沒有「長度」這一概念，所以需要用測度來得到集合的「長度」。（測度=集合的「長度」）
於是，狄利克雷函式在區間[0,1]的積分=1*m(q)+0*m(i)。
區間[0,1]的有理數的測度m(q)=0，區間[0,1]的無理數的測度m(i)=1；所以1*m(q)+0*m(i)=0。
勒貝格本人舉的例子：
假設要數一堆硬幣，黎曼積分就是乙個乙個地數，而勒貝格積分就是先根據硬幣的面值分好類，再一小堆一小堆地數。
二、集合。
1、有限覆蓋定理。
有一開區間族b（b1到bk的並)覆蓋了閉區間a，那麼可以在b中選出有限個開區間（虛線小圓）來覆蓋a。
2、區間套定理。
若干個閉區間相交，而且乙個比乙個小，最後交集為一點（同心圓的圓心）。
3、對等和基數。
集合1和集合2中的元素一一對應，稱為對等。對等的集合基數相同，基數可以衡量集合的個數，但是基數不是乙個準確的數，而是乙個代號。基數又稱「勢」。
無限集可以與它的真子集對等(有限集沒有這個性質)。對等用~來表示。
如：~，令x=正整數，那麼正偶數φ(x)=2x。
對等關係具有以下性質：自反性、對稱性、傳遞性。
如果a≠b，但是a~b的真子集，那麼b的基數比a大。
伯恩斯坦定理(用於建立對等)，如下：
(0,1) → （0,1）⊆ (0,1] ，(0,1)屬於(0,1]的子區間，該子區間與前面的(0,1)對等。
(0,1] → （0,1/2]⊆ (0,1) ，(0,1/2]屬於(0,1)的子區間，該子區間與前面的(0,1]對等。
所以(0,1) ~ (0,1]。
4、可數集合。
全體有理數、正整數是可數集合（所有元素都可以一一列出來）。
一一列出的意思是：如正整數，可以用1，2，3，……，正無窮來列出。
5、不可數集合。
全體實數r、無理數是不可數集合（不能一一列出所有元素）。
三、點集。
1、內點、外點、界點、聚點、孤立點。
紅點在圓內，為內點；黃點在圓邊界，為界點；藍點在圓外，為外點。
紅點和黃點是聚點。
有一集合e=[a,b]並。c點存在去心鄰域（黃色區域），均不屬於e，則c是孤立點。
2、開核、邊界、導集、閉包。
紅色部分和藍色部分為開核，它不包括邊界。
邊界，就是圓周，但是圓周可以屬於圓（紅圓實線黑色邊界），也可以不屬於圓（藍圓虛線邊界）。
導集=開核+邊界。
閉包=集合本身+導集。
3、開集、閉集、完備集。
紅色部分（包括實線黑色邊界）為閉集，它的每乙個聚點都屬於集合本身。藍色部分（不包括虛線黑色邊界）為開集，它的每乙個內點都屬於集合本身。
紅色部分（包括實線黑色邊界）為自密集，它的每乙個聚點都屬於集合本身。同時，它也是閉集，自密閉集就是完備集。
4、康托爾三分集p的性質。
p是完備集。
p沒有內點。因為p的閉包沒有內點，所以p是疏朗集。
p的測度為0，p在區間[0,1]的補集的測度為1。
p的基數為c。
康托爾三分集的matlab**如下：
function = main()
clear;close all;clc;
cantorset(0,10,10,10);
function f = cantorset(ax,ay,bx,by) %康托爾三分集
c=0.001; %橫線的最小寬度
d=0.005; %上、下兩條橫線的間距
if((bx-ax) > c)
x = [ax,bx];
y = [ay,by];
hold on;
plot(x,y,'linewidth',2); % 畫線一條線
hold off;
cx = ax + (bx-ax)/3; %第一條橫線從最左點ax，增加1/3長度
cy=ay-d; % 橫線向下遞減d
dx = bx-(bx-ax)/3; % 第二條橫線從最右邊bx，減少1/3長度
dy=by-d; % 橫線向下遞減d
ay=ay-d; % 橫線向下遞減d
by=by-d; % 橫線向下遞減d
cantorset(ax,ay,cx,cy); % 遞迴畫左邊橫線
cantorset(dx,dy,bx,by); % 遞迴畫右邊橫線
end
四、測度論。
1、內測度和外測度。
內測度，是內填，對應於圓的內接多邊形，只要多邊形的邊數足夠多，上確界就能逼近圓的面積。
外測度，是外包，對應於圓的外切多邊形，只要多邊形的邊數足夠多，下確界就能逼近圓的面積。
2、外測度的次可數可加性。
因為外測度是外包，要不等於圓的面積，要不大於圓的面積，這就是次可數可加性。而可數可加性就只有等於圓的面積。
3、可測集。
外測度可以從外面包圍任意集合，但這不能使得任意集合都可測，於是，外測度需要新增乙個條件（卡拉泰奧多裡條件）：
這樣，計算測度時，不需要同時使用內外兩種測度，而是只使用外測度，大大簡化計算。
4、可測集類。
可測集有以下幾種型別：
a、凡外測度為零之集皆可測，稱為零測度集。
b、零測度集之任何子集仍為零測度集。
c、有限個或可數個零測度集之和集仍為零測度集。
d、區間都是可測集合，且mi=i的「長度」。
e、凡開集、閉集皆可測。
f、凡博雷爾集都是l可測集。
五、可測函式。
六、積分論。
七、微分與不定積分。
未完待續。。。
實變函式與泛函分析課本pdf 實變函式與泛函分析
內容概要 本書是為大學非基礎數學專業 實變函式與泛函分析 課程編寫的教材。它的先修課程是數學分析或物理類的高等數學。全書共分6章，內容包括 集合，歐氏空間，lebesgtle測度，lebesgue可測函式，lebesgue積分，測度空間，測度空間上的可測函式和積分，lp空間，l2空間，卷積與four...
實變函式論知識點總結
我一直想就我個人的體會和認識寫個大學本科階段各分析課程的歷史,知識總結以及有關數學家的八卦故事等.等我有時間了,再考慮吧.下面就簡單的總結一些實變函式論課程的知識點,當然也是重點和考點,積分收斂定理和各種收斂的關係是難點 裡面涉及的大部分定理在期末考題裡都有有所體現.期末試題已經出好,成績還和去年一...
實變函式 1 4 可數集合
1 定義 若 a sim bbn 則稱 a 為可數集 countable set 2 例 正奇數集合 正偶數集合 整數集合.3 性質 1 任何無限集均有乙個可數子集.即 若 a 為無限集,則 overline geq a equiv overline 證明 a bs sed neq vno 而可取出...