1 可測集的例子:
(1) 零測度集可測: $$\bex e\mbox\lra m^*e=0. \eex$$
證明: $$\bex m^*t\geq m^*(t\cap e^c)=m^*(t\cap e)+m^*(t\cap e^c). \eex$$
(2) (開、閉、半開半閉) 區間 $i$ 可測, 且 $mi=|i|$.
(3) 開集、閉集可測.
(4) borel 集可測. $$\bex \ba \sigma\mbox: &\mbox\omega, \mbox\bbr^n\in \omega,\mbox.\\ &\mbox\scrm\mbox\sigma\mbox\\ \mbox\sigma\mbox: &\mbox\vsa\mbox\sigma\mbox\***\omega}\mbox\vsa\mbox\sigma\mbox.\\ borel \mbox:&\mbox\bbr^n\mbox\sigma\mbox\scrb.\\ borel\mbox:&\mbox \scrb\mbox. \ea \eex$$
證明: $$\bex \sed}\subset \scrm\ra \scrb\subset \scrm. \eex$$
2 可測集的構造.
(1) 定義: $$\bex \ba g_\delta\mbox:&g=\cap_^\infty o_i\\ f_\sigma\mbox:&f=\cup_^\infty f_i. \ea \eex$$
(2) 可測集 $= g_\delta$ 集 $\bs$ 零測度集: $$\bex e\mbox\ra \exists\ g_\delta\mboxg,\mboxz_1,\st e=g\bs z_1. \eex$$
證明: 由 $$\beex \bea e&=\cup_^\infty e_n\quad\***\\ &=\cup_^\infty (g_i\bs z_i)\\ &=\cup_^\infty g_i\bs \cap_^\infty z_i \eea \eeex$$
知可僅考慮 $me<\infty$ 的情形. 此時, 由外測度的定義, $$\bex \forall\ \ve>0, \ \exists\ \sed,\st \cup_^\infty i_i\supset e,\ \sum_^\infty |i_i|
令 $\dps^\infty o_i}$, 則 $$\bex me\leq mo\leq \sum_^\infty mi_i =\sum_^\infty |i_i|
然後對 $\forall\ i\in\bbz^+$, $\dps}$; 令 $$\bex g=\cap_^\infty o_i,\quad z_1=g\bs e, \eex$$
則 $g\bs z=e$, 且 $$\bex mz_1=m\***^\infty o_i\bs e}\leq m(o_i\bs e)<\frac\ra mz_1=0. \eex$$
(3) 可測集 $=$ $f_\sigma$ 集 $\cup$ 零測度集: $$\bex e\mbox\ra \exists\ f_\sigma\mbox, \mboxz_2,\st e=f\cup z_2. \eex$$
證明: 由可測集的性質 (2), $$\bex e^c=g\bs z_1=g\cap z_1^c\ra e=g^c\cup z_1. \eex$$
3 可測集的內、外正規性: $$\bex e\mbox\ra\sedd (\mbox): me=\inf \sed\\ (\mbox): me=\sup\sed \ea}. \eex$$
證明: 先證外正規性. 若 $me=\infty$, 則結論顯然成立. 往設 $me<\infty$. 由可測
集的構造知 $$\bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ o,\st m (o\bs e)<\ve. \eex$$
再證內正規性. 若 $e$ 有界, 則由外正規性, $$\bex \forall\ \ve>0, \ \exists\ o\supset e^c,\st m(o\bs e^c)=m(e\bs o^c)<\ve. \eex$$
取 $k=o^c\subset e$ 即知 $k$ 是緊集. 若 $e$ 無界, 則 $$\bex e=\lim_ e_i,\quad e_i=e\cap b(0,n). \eex$$
對每個 $e_i$, 由已證的有界情形的內正規性知 $$\bex \exists\ k_i\subset e_i\subset e,\st me_i-\frac
於是$$\bex \lim_mk_i=me. \eex$$
4 作業: page 75, t 10, t 11.
可測集的性質
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