有時候我們對乙個線性函式⟨⋅
,x∗⟩
在乙個凸集
c 上的極值感興趣，我們研究這個問題的方法是討論當x∗
變化時，極值如何變化。所以我們有如下定義：
定義1.凸集c
的支撐函式（support function）δ∗
(x∗|
c)定義為： δ∗
(x∗|
c)=sup
. 以上情況對應的是極大化線性函式，相應的可以極小化：
inf=−δ
∗(−x
∗|c)
.考慮包含
c 的閉的半空間： c⊂
上式成立當且僅當： β≥
δ∗(x
∗|c)
所以我們說
c 的支撐函式δ∗
(x∗|
c)描述了包含
c 的半空間。
由凸集分離定理可知：
定理1.設c
是凸集，那麼有：
（a） x∈
clci
ff.⟨
x,x∗
⟩≤δ∗
(x∗|
c)（b） x∈
rici
ff.⟨
x,x∗
⟩≤δ∗
(x∗|
c), 且當x∗
使得δ∗(
x∗|c
)≠−δ
∗(−x
∗|c)
，不等號嚴格成立
（c） x∈
intc
iff.
⟨x,x
∗⟩<δ∗
(x∗|
c),∀
x∗≠0
（d） x∈
affc
iff.
⟨x,x
∗⟩=δ
∗(x∗
|c),
∀x∗:
δ∗(x
∗|c)
=−δ∗
(−x∗
|c)
由上面的定理可以看出：cl
c1⊂c
lc2 當且僅當 δ∗
(x∗|
c1)≤
δ∗(x
∗|c2
) .
我們還可以看出，設
c 是閉凸集，則
c可以表示為： c=
這說明c 完全由它的支撐函式決定；這個事實很有趣,它像我們展示了乙個閉凸集和rn
上函式的乙個一一對應關係（以後我們會講到這個對應關係的許多重要的性質）。
下面考慮另外的問題：給定乙個函式，如何判斷它是不是某個凸集的支撐函式？
從函式的共軛關係我們可以得到一些啟發： 設δ
(⋅|c
) 是凸集
c 的示性函式（indicator function），對它求共軛函式：
supx∈r
n=supx∈c
⟨x,x
∗⟩=δ
∗(x∗
|c)由共軛函式的性質我們還可以得到： (δ
∗(⋅|
c))∗
=clδ
(⋅|c
)=δ(
⋅|cl
c)定理2.
閉凸集的示性函式和支撐函式相互共軛；非空凸集的支撐函式都是閉的正常凸函式，並且是正齊次的（positively homogeneous）。
證明：
我們只需要證明後面的乙個結論。
只需要證明：乙個閉的，正常的凸函式如果僅僅取值與0和+∞
當且僅當它的共軛函式是正齊次的。
這個只需要直接計算就可以驗證。
結合定理1和定理2： 設f
是任意的正齊次的凸函式，切不恆等於+∞
， 那麼，cl
f 是某個閉凸集
c 的支撐函式，這個集合
c可以描述為： c=
容易得到如果我們要求
c 是有界的凸集，那麼
f還要加上有限（finite） 的條件。
下面考慮對於一些特殊的集合，如何求出它們的支撐函式。
1.令
b 是歐幾里得單位球（unit euclidean ball）
由cauchy-schwarz 不等式： |⟨
x,y⟩
|≤|x
|⋅|y
|蘊含著：⟨x
,y⟩≤
|x|,
當|y|
≤1 又
⟨x,y
⟩≤|x
|，當x
=0或者
y=|x
|−1x
所以： |x
|=sup=δ∗
(x|b
) 2.設f
是乙個正常的凸函式，那麼do
mf的支撐函式是f∗
的**函式（recession function）f∗
0+. 對偶地，如果
f 是閉函式，那麼do
mf∗的支撐函式是
f 的**函式f0
+. （這個定理在當我們熟悉了函式和集合的**性質後，直接按定義就可以證明。**性質我們會在後面單獨學習）
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