卡普雷卡數

傳說數學家卡普雷卡（kaprekar）偶然發現鐵路旁的里程碑「3025」被雷擊得一分為二：30與25.他敏銳地注意到：30+25=55，55^2=3025。

現稱這樣具有分段和平特性的整數為卡普雷卡數。

先**搜尋4位卡普雷卡數的基礎上引申至一般偶數字卡普雷卡數，並進一步拓廣到2段和平方數。

乙個4位整數分為前後兩個2位數，若該數等於所分兩個2位數和的平方，則稱該數為4位卡普雷卡數。

試求出所有的4位卡普雷卡數。

1.說明：

設4位整數a=b*b，存在以下兩個列舉方案：

（1）、迴圈列舉所有4位整數a，應用取整函式（int）和求餘（%）把a分段為前後兩個2位整數x，y，通過條件判別：若滿足a=（x+y）^2且y>=10，即找到卡普雷卡數a，進行列印輸出；

（2）、迴圈列舉2位整數b，求出a=b*b，對平方數a同上分段為前後兩個2位整數x，y，進行判別：若滿足b=x+y且y>=10，即找到卡普雷卡數a，進行列印輸出。

顯然方案二的列舉次數較少，較為簡單。

2.程式設計：

#include#includeint main()
printf("\n");
}

3.程式執行示例及其注意事項：

4位卡普雷卡數有：2025,3025，

注意：分段和條件檢驗中的y>=10是確保y為2位數。若去除y>=10的限制，則還有9801，該數分解的兩段，前段為乙個2位數98，後段是乙個1位數1，不符合「分段為前後兩個2位整數」的要求。

偶數n位卡普雷卡數分為前後兩個n/2位整數，該數等於所分兩個數和的平方；

輸入偶數n（4<=n<=14），輸出所有的n位卡普雷卡數。

1.說明：

注意到n超過10位，相關變數設定為雙精度實型。

1）、設定列舉迴圈；

設n位平方數a=b*b，求出b的最小值c與最大值d，

設定b（c~d）迴圈，迴圈中a=b*b即為n位平方數。

2）、實施分段；

同時設定分段特徵量w=10^(n/2)，對平方數a應用取整x=floor（a/w）和求餘y=fmod（a，w）計算a分段前後的兩個n/2位整數x，y。

3）、分段和判別；

如果後一段首位為0，則導致整數y不足n/2位，為此需要加上條件y>=w/10，

若滿足條件b=x+y且y>=w/10，即找到n位卡普雷卡數a，進行列印輸出。

2.程式設計：

#include#includeint main()
printf("%d位卡普雷卡數有: \n",n);
for(m=1,k=2;k<=n;k++)
m*=10;
for(w=1,k=1;k<=n/2;k++)
w*=10;
c=(long)pow(m,0.5); /*求出列舉b迴圈的起點*/
d=(long)pow(10*m-1,0.5); /*求出列舉b迴圈的終點*/
for(b=c+1;b<=d;b++)
}

3.程式執行示例及其注意事項：

請輸入偶數n位（n<=14）: 14
14位卡普雷卡數有:
19753082469136=(1975308+2469136)^2
24284602499481=(2428460+2499481)^2
25725782499481=(2572578+2499481)^2
30864202469136=(3086420+2469136)^2

注意：以上所得4個14位卡普雷卡數，所分的前後兩段都是7位整數。

作為卡普雷卡數的進一步推廣，推出2段和平方數。

定義：把乙個n位正整數a分為前後兩段（兩段的位數不要求相等，兩段所生成的兩個正整數的位數之和也不要求等於n），若分段的兩個正整數之和的平方等於a，則稱a為2段和平方數。

例如：88209=（88+209）^2,88209就是乙個把自身分為兩段「88」與「209」的和的平方數，即2段和平方數。

顯然，前面的偶數字卡普雷卡數是偶數字2段和平方數的特例，

輸入位數n（2<=n<=16），搜尋並輸出所有的n位2段和平方數。

1.說明：

注意到n位數比較大，n位數及其相關資料設定為雙精度實型。

1）、設定列舉迴圈；

設a=b * b，a為n位整數，求出b的取值範圍[c,d]，設定列舉b（c~d）迴圈，迴圈中計算的a=b * b確保為n位平方數，

2）、實施分2段；

把乙個n位數分為前後兩段有n-1種分法：設定分段操作的k（1~n-1）迴圈，迴圈中模擬分段的變數w從1開始，通過自乘10可分別得w=10,100，…，10^(n-1)。應用取整x=floor（a/w）和取餘y=fmod（a，w）等操作把整數a分為前後兩個整數x和y。

3）、分段和條件檢驗；

在分段操作的k（1~n-1）迴圈中，每分段得兩個整數x和y，檢驗若b=x+y，則滿足分段和平方數條件，

注意到如果後段的首位可能為0，則兩個正整數x，y的位數之和可能小於n，這是允許的；如果後段全部為0，則整數y為0而非正整數，這是不允許的，

因而在分段和條件檢驗中，除了檢驗b=x+y之外，需要加上條件y>0 。

2.程式設計：

#include#includeint main()}}
if(s>0)
printf("共%d個%d位2段和平方數。\n",s,n);
else printf("沒有%d位2段和平方數。\n",n);
}

3.程式執行示例及其注意事項：

請輸入正整數n（3<=n<=15）:11
20408122449=(20408+122449)^2
21948126201=(21948+126201)^2
33058148761=(33058+148761)^2
35010152100=(35010+152100)^2
43470165025=(43470+165025)^2
共5個11位2段和平方數。

注意：執行程式可知，若位數n為奇數時，所分兩段位數一般只相差1（如n=11時，一段為5位，另一段為6位）；若位數n為偶數時，所分兩段位數相等（如n=14時，兩段都為7位）。

因此，對以上程式前後兩端實施n-1種分發應該可以簡化：

#include#includeint main()
w*=10;}}
if(s>0)
printf("共%d個%d位2段和平方數。\n",s,n);
else printf("沒有%d位2段和平方數。\n",n);
}

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