卡特蘭數非常經典，很多現實的問題都是卡特蘭數，如合法的入棧出棧序列有多少種就是卡特蘭數，為什麼呢？我們可以把0看成入棧操作，1看成出棧操作，即0的累計個數不小於1的排列有多少種。還有很多其他的問題都是卡特蘭數，如二叉樹的個數，有序樹的個數，多邊形分成三角形的個數等。
卡特蘭數的通項是c(2n, n)/(n+1)。
注意組合數學中的運算：a(m, n) = m! / (m-n)!, c(m, n) = a(m, n) / n! = m! / ((m-n)!*n!),因此卡特蘭數的通項：
c(2n, n)/(n+1) = (2n!) / ((2n - n)! * n!) / (n + 1) = (2n!) / (n! * n!) / (n + 1)圓周上有標號為1，2，3，4，……，2n的共計2n個點，這2n個點配對可連成n條弦，且這些弦兩兩不相交的方式數為卡特蘭數cn
遊樂園門票1元一張，每人限購一張。現在有10個小朋友排隊購票，其中5個小朋友每人只有1元的鈔票一張，另5個小朋友每人只有2元的鈔票一張，售票員沒有準備零錢。問：有多少種排隊方法，使售票員總能找的開零錢？
甲乙兩人比賽桌球，最後結果為20∶20，問比賽過程中甲始終領先乙的計分情形的種數。
即甲在得到1分到19分的過程中始終領先乙，其種數是卡特蘭數
飯後，姐姐洗碗，妹妹把姐姐洗過的碗乙個乙個放進碗櫥摞成一摞。一共有n個不同的碗，洗前也是摞成一摞的，也許因為小妹貪玩而使碗拿進碗櫥不及時，姐姐則把洗過的碗摞在旁邊，問：小妹摞起的碗有多少種可能的方式？
答：得數是第n個卡特蘭數cn。
乙個汽車隊在狹窄的路面上行駛，不得超車，但可以進入乙個死胡同去加油，然後再插隊行駛，共有n輛汽車，問共有多少種不同的方式使得車隊開出城去？
括號化問題。乙個合法的表示式由()包圍，()可以巢狀和連線，如(())()也是合法 表示式；現在有 6 對()，它們可以組成的合法表示式的個數為
矩陣連乘： p=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？(h(n)種)
出棧次序問題。乙個棧(無窮大)的進棧序列為1,2,3,…n,有多少個不同的出棧序列?
類似：有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)
將多邊行劃分為三角形問題。將乙個凸n+2多邊形區域分成三角形區域的方法數?類似：一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果她從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那麼有多少條可能的道路？類似：在圓上選擇2n個點,將這些點成對連線起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?
給頂節點組成二叉樹的問題。給定n個節點，能構成多少種不同的二叉樹，（能構成h（n）個）catalan數的解法catalan數的組合公式為 cn=c(2n,n) / (n+1);
此數的遞迴公式為 h(n ) = h(n-1)(4n-2) / (n+1)
卡特蘭數真是乙個神奇的數字，很多組合問題的數量都和它有關係，例如：
cn= n對括號正確匹配組成的字串數，例如 3對括號能夠組成：
cn= n+1個數相乘，所有的括號方案數。例如， 4個數相乘的括號方案為：
((ab)c)d (a(bc))d (ab)(cd) a((bc)d) a(b(cd))
cn= 擁有 n+1 個葉子節點的二叉樹的數量。例如 4個葉子節點的所有二叉樹形態：
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cn=n*n的方格地圖中，從乙個角到另外乙個角，不跨越對角線的路徑數，例如， 4×4方格地圖中的路徑有：
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cn= n+2條邊的多邊形，能被分割成三角形的方案數，例如 6邊型的分割方案有：
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cn= 圓桌周圍有 2n個人，他們兩兩握手，但沒有交叉的方案數。
下面是一些大公司的筆試題
先來一道阿里巴巴的筆試題目：說16個人按順序去買燒餅，其中8個人每人身上只有一張5塊錢，另外8個人每人身上只有一張10塊錢。燒餅5塊乙個，開始時燒餅店老闆身上沒有錢。16個顧客互相不通氣，每人只買乙個。問這16個人共有多少種排列方法能避免找不開錢的情況出現。
c8=1430，所以總數=1430*8！*8！
在圖書館一共6個人在排隊，3個還《面試寶典》一書，3個在借《面試寶典》一書，圖書館此時沒有了面試寶典了，求他們排隊的總數？
c3=5；所以總數為5*3！*3！=180.
Catalan Number 卡特蘭數
其前幾項為 1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,742900,2674440,9694845,35357670,129644790,477638700,1767263190,6564120420,24466267020,9148256...
Catalan Number 卡特蘭數
卡特蘭數是乙個比較有意思的數列，有幾個經典問題的模型如下 1.n對括號的合法表示式有多少種可能，其中答案為c n 表示卡特蘭數列的第n項 2.有n個節點的二叉樹的所有可能形態有多少種，也是c n 3.計算有n 1個葉節點的滿二叉樹有多少種，也是c n 4.序列的所有排列中不出現 123 或者任何乙個...
卡特蘭數（catalan number）
卡塔蘭數是組合數學中乙個常在各種計數問題中出現的數列。公式為 前幾項為 n 0,1,2,3,4,5時 1,1,2,5,14,42 2.1 乙個棧的進棧次序為1 2 3 n。有多少種不同的出棧次序？當 2.2 有n個結點，總共能構成幾種不同的二叉樹？當 2.3 其它常見問題 1.n對括號有多少種匹配方...